Дифференциальные уравнения. Линеаризация. - раздел Менеджмент, Управление техническими системами Известно, Что Любое Движение, Процессы Передачи, Обмена, Преобразования Энерг...
Известно, что любое движение, процессы передачи, обмена, преобразования энергии и вещества математически можно описать в виде дифференциальных уравнений (ДУ). Любые процессы в АСР также принято описывать дифференциальными уравнениями, которые определяют сущность происходящих в системе процессов независимо от ее конструкции и т.д. Решив ДУ, можно найти характер изменения регулируемой переменной в переходных и установившихся режимах при различных воздействиях на систему.
Для упрощения задачи нахождения ДУ, описывающего работу АСР в целом, систему разбивают на ее отдельные элементы, переходные процессы в которых описываются достаточно простыми ДУ. Так как ДУ описывают работу системы независимо от физической сущности протекающих в ней процессов, то при разбивке системы нет необходимости учитывать их физическую целостность. Для каждого элемента структурной схемы необходимо составить ДУ, определяющее зависимость изменения выходной величины от входной.
Так как выходная величина предыдущего элемента является входной для последующего, то, определив ДУ отдельных элементов, можно найти ДУ системы.
Однако, такой метод применим только в частных случаях. Дело в том, что в большинстве случаев в реальных элементах системы связь между входной и выходной величинами является нелинейной и часто задается в графической форме. Поэтому, даже если ДУ системы и будет получено, оно будет нелинейным. А аналитическое решение нелинейных ДУ возможно далеко не всегда.
Для решения этой проблемы учитывают, что в процессе регулирования отклонения всех изменяющихся величин от их установившихся значений малы, и поэтому возможна замена нелинейных ДУ приближенными линейными ДУ, то есть возможна линеаризация дифференциальных уравнений.
Рассмотрим сущность процесса линеаризации на примере сушильного шкафа. Зависимость температуры объекта от подаваемого напряжения в большинстве случаев нелинейна и имеет вид, представленный на рисунке.
Графически линеаризацию некоторого уравнения от двух переменных F(х,у) = 0 в окрестности некоторой точки (х0, у0) можно представить как замену рассматриваемого участка кривой на касательную (см. рис. 1.14), уравнение которой определяется по формуле:
,
где 
и 
- частные производные от F по х и у. Данное уравнение называется уравнением в приращениях, поскольку значения х и у здесь заменены на приращения Dх = х - х0 и Dу = у - у0.
Линеаризация ДУ происходит аналогично, отличие состоит только в том, что необходимо искать частные производные по производным (
, 
, 
и т.д.).
Пример. Линеаризация нелинейного ДУ.
3xy - 4x2 + 1,5
y = 5
+ y
Данное ДУ является нелинейным из-за наличия произведений переменных х и у. Линеаризируем его в окрестности точки с координатами х0 = 1, 
= 0, 
= 0. Для определения недостающего начального условия у0 подставим данные значения в ДУ:
3у0 - 4 + 0 = 0 + у0 откуда у0 = 2.
Введем в рассмотрение функцию
F = 3xy - 4x2 + 1,5x’y - 5y’ - y
и определим все ее производные при заданных начальных условиях:
= (3у - 8х
= 3*2 - 8*1 = -2,
= (3х + 1,5x’ - 1= 3*1 + 1,5*0 - 1 = 2,
= (1,5у= 1,5*2 = 3,
= -5.
Теперь, используя полученные коэффициенты, можно записать окончательное линейное ДУ:
-5.Dy’ + 2.Dy + 3.Dх’ - 2.Dх = 0.
¨
Все темы данного раздела:
Основные модели.
Работу системы регулирования можно описать словесно. Так, в п. 1.1 описана система регулирования температуры сушильного шкафа. Словесное описание помогает понять принцип действия системы, ее назнач
Статические характеристики.
Статической характеристикой элемента называется зависимость установившихся зн
Динамические характеристики.
Переход системы от одного установившегося режима к другому при каких-либо входных воздействиях называется переходным процессом. Переходные процессы могут изображаться графически в виде кривой y(t).
Преобразования Лапласа.
Исследование АСР существенно упрощается при использовании прикладных математических методов операционного исчисления. Например, функционирование некоторой системы описывается ДУ вида
Определение передаточной функции.
Преобразование ДУ по Лапласу дает возможность ввести удобное понятие передаточной функции, характеризующей динамические свойства системы.
Например, операторное уравнение
3s2
Соединения звеньев.
Поскольку исследуемый объект в целях упрощения анализа функционирования разбит нами на звенья, то после определения передаточных функций для каждого звена встает задача объединения их в одну переда
Передаточные функции АСР.
Для исследования и расчета структурную схему АСР путем эквивалентных преобразований приводят к прост
Определение параметров передаточной функции объекта по переходной кривой.
Процесс получения передаточной функции объекта, исходя из данных о переходном процессе, называется идентификацией объекта.
Предположим, что при подаче на вход некоторого объекта сту
Определение частотных характеристик.
Известно, что динамические процессы могут быть представлены частотными характеристиками (ЧХ) путем разложения функции в ряд Фурье.
Предположим, имеется некоторый объект и требуется определ
Логарифмические частотные характеристики.
Логарифмические частотные характеристики (ЛЧХ) используются довольно часто для описания динамических параметров различных устройств. Существуют два основных вида ЛЧХ, которые, как правило, использу
Устойчивость.
Важным показателем АСР является устойчивость, поскольку основное ее назначение заключается в поддержании заданного постоянного значения регулируемого параметра или изменение его по определенному за
Корневой критерий.
Корневой критерий определяет устойчивость системы по виду передаточной функции. Динамической характеристикой системы, описывающей основные поведенческие свойства, является характеристический полино
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица работает с характеристическим полиномом замкнутой системы. Как известно, структурная схема АСР по ошибке имеет вид (см. рис.)
Wp - передаточная функция регулято
Критерий Михайлова.
Описанные выше критерии устойчивости не работают, если передаточная функция системы имеет запаздывание, то есть может быть записана в виде
Критерий Найквиста.
Данный критерий аналогичен критерию Михайлова, но работает с АФХ системы, поэтому более сложен для расчетов.
Последовательность:
1) Определяется передаточная функция разомкнутой с
Показатели качества
Если исследуемая АСР устойчива, то может возникнуть вопрос о том, насколько качественно происходит регулирование в этой системе и удовлетворяет ли оно технологическим требованиям. На практике качес
Прямые показатели качества.
К ним относятся: степень затухания y, перерегулирование s, статическая ошибка ест, время регулирования tp и др.
Рис. 1.38
Корневые показатели качества.
К ним относятся: степень колебательности m, степень устойчивости h и др.
Не требуют построения переходных кривых, поскольку определяются по корням характеристического полинома. Для этого к
Частотные показатели качества.
Для определения частотных показателей качества требуется построение АФХ разомкнутой системы и АЧХ замкнутой системы.
По АФХ определяются запасы: DA - по амплитуде,
Типы регуляторов.
Для регулирования объектами управления, как правило, используют типовые регуляторы, названия которых соответствуют названиям типовых звеньев:
1) П-регулятор (пропорциональный регулятор)
Определение оптимальных настроек регуляторов.
Регулятор, включенный в АСР, может иметь несколько настроек, каждая из которых может изменяться в достаточно широких пределах. При этом при определенных значениях настроек система будет управлять о
Государственная система приборов (ГСП).
ГСП объединяет в себе все средства контроля и регулирования технологических процессов. Характерной особенностью ГСП является:
1) блочно-модульный принцип, лежащий в основе конструкций устр
Точность преобразования информации.
Прямое измерение – измерение, при котором искомое значение величины находят непосредственно из опытных данных.
Косвенное измерение - измерен
Виды первичных преобразователей.
Первичные приборы или первичные преобразователи предназначены для непосредственного преобразования измеряемой величины в другую величину, удобную для
Термометры расширения. Жидкостные стеклянные.
Тепловое расширение жидкости характеризуется сравнительным коэффициентом объемного расширения, значение которого определяется как
Термометры, основанные на расширении твердых тел.
К этой группе приборов относятся дилатометрические и биметаллические термометры, основанные на изменении линейных размеров твердых тел с изменением температуры.
1) Конструкти
Газовые манометрические термометры.
В основу принципа действия манометрического термометра положена зависимость между температурой и давлением термометрического (рабочего) вещества, лишенного возможности свободно расширяться при нагр
Конденсационные манометрические термометры.
Конденсационные манометрические термометры реализуют зависимость упругости насыщенных паров низкокипящей жидкости от температуры. Поскольку эти зависимости для используемых жидкостей (хлористый мет
Термометры сопротивления.
Измерение температуры термосопротивлениями основано на свойстве проводников и полупроводников изменять свое электрическое сопротивление при изменении температуры.
Вид функции R = f(t) зави
Пирометры излучения.
Пирометры излучения основаны на использовании теплового излучения нагретых тел. Верхний предел измерения температуры пирометра излучения практически не ограничен. Измерение основано на бесконтактно
Пирометрические милливольтметры.
Пирометрические милливольтметры являются электро-измерительными приборами магнито-электрической сист
Потенциометры.
RАВ
В
Автоматические электрические потенциометры.
Методы измерения сопротивления.
Для измерения сопротивлений термоэлектрических сопротивлений (ТС) часто используют автоматические электронные мосты, включенные по двухпроводной, трехпроводной или четырехпроводной схемам.
Чашечные манометры и дифманометры.
Н
Чашечный (однотрубный) манометр является разновидностью U-образного трубного манометра (см. рис. 2.10), у которого
Микроманометры.
Рис. 2.11
Применяютс
Электрические манометры.
Преобразователи давления типа "Сапфир".
Эти манометры обеспечивают непрерывное преобразование значение измеряемого параметра (давления избыточного, абсолютного,
Метод переменного перепада давления.
Является самым распространенным и изученным методом измерения расхода жидкости, пара и газа.
В измерительной технике сужающими устройствами являются диафрагмы, сопла и сопла Вентури.
Расходомеры постоянного перепада давления.
К ним относятся гидродинамические, поршневые, поплавковые, ротаметрические расходомеры.
Наиболее распространенными приборами группы расходомеров постоянного перепада давления являются рота
Методы измерения уровня.
В общем объеме измерительных операций в нефтепереработке, нефтехимии и газовой промышленности измерение уровня составляет 18 - 20 %.
Поl измерением уровня понимаетс
Буйковые уровнемеры.
Действие буйкового уровнемера основано на законе Архимеда. Чувствительный элемент буйкового уровнеме
Гидростатические уровнемеры.
В этих приборах измерение уровня жидкости постоянной плотности сводится к измерению давления, создан
Электрические методы измерения уровня.
Для измерения уровня жидкости может быть использовано различие электрических свойств жидкости и паро
Исполнительные устройства насосного типа.
Структура ИУ насосного типа представлена на рисунке, где обозначено: u – управляющее воздействие со стороны регулятора, ИМ – исполнительный механизм (привод), РО – регулирующий орган (насос), Х
Исполнительные устройства реологического типа.
Некоторые жидкости и дисперсионные системы могут изменять вязкость под действием электрического поля
Исполнительные устройства дроссельного типа.
Эти ИУ нашли преимущественное распространение в силу универсальности и простоты. В зависимости от u
Исполнительные механизмы.
Стандартные исполнительные механизмы (ИМ) работают в комплекте с РО, образуя вместе ИУ, и классифицируются по:
- виду энергии, создающей перестановочное усилие (электричес
Условные обозначения
Все местные измерительные и преобразовательные приборы, установленные на технологическом объекте изображаются на функциональных схемах автоматизации в виде окружностей (см. рис. 2.30, а и б).
Индикация и регистрация температуры (TIR).
101-1 Термоэлектрический термометр тип ТХА, гр. ХА, пределы измерения от –50 °С до 900 °С, материал корпуса Ст0Х20Н14С2, марка
Индикация, регистрация и регулирование температуры с помощью пневматического регулятора (TIRС, пневматика).
102-1 то же, что 101-1
102-2 то же, что 101-2
102-3 электропневмопреобразователь, входной сигнал 0…5 мА, вых
Схемы контроля уровня и расхода.
Схемы контроля уровня аналогичны схемам контроля давления, поскольку его значение при измерении либо преобразуется в давление, либо датчики уровня, как и датчики давления, имеют на выходе стандартн
Структура АСУ ТП.
Характерной особенностью развития современной электронной промышленности является бурный рост, сопровождающийся столь же бурным снижением стоимости средств автоматизации, вычислительной техники, ко
Устройства связи с объектом (УСО).
Почти все технологические параметры, присутствующие в реальном технологическом объекте. имеют аналоговый или дискретный вид. Существует много датчиков, которые могут преобразовывать измеряемые вели
Аппаратная и программная платформа контроллеров.
Промышленные контроллеры и компьютеры. расположенные на средне уровне АСУТП играют роль управляющих элементов. принимающих цифровую информацию и передающих управляющие сигналы.
До последне
Часть 1. Теория Автоматического Управления (ТАУ) 3
1. Основные термины и определения ТАУ. 3
1.1. Основные понятия. 3
1.2. Классификация АСР. 6
1.3. Классификация элементов автоматических систем. 8
2. Характеристи
Часть 2. Средства автоматизации и управления. 35
1. Измерения технологических параметров. 35
1.1. Государственная система приборов (ГСП). 35
1.2. Точность преобразования информации. 35
1.3. Классификация КИП. 37
Новости и инфо для студентов