Задача 4

 

В бухгалтерии организации в определенные дни непосредственно с сотрудниками работают два бухгалтера. Если сотрудник заходит в бухгалтерию для оформления документов (доверенностей, авансовых отчетов и пр.) в тот момент, когда оба бухгалтера заняты обслуживанием ранее обратившихся коллег, то он уходит из бухгалтерии, не ожидая обслуживания. Статистический анализ показал, что среднее число сотрудников, обращающихся в бухгалтерию в течение часа, равно , а среднее время, которое затрачивает бухгалтер на оформление документа, - Т_ср мин. Оцените основные характеристики работы данной бухгалтерии как СМО с отказами (указание руководства не допускать непроизводительных потерь рабочего времени!). Определите, сколько бухгалтеров должно работать в бухгалтерии в отведенные дни с сотрудниками, чтобы вероятность обслуживания сотрудников была выше 85%.

 

Решение

 

Показатели обслуживания многоканальной СМО:

Интенсивность потока обслуживания:

Интенсивность нагрузки.

ρ = λ • t_обс = 8 • 10 = 80

Интенсивность нагрузки ρ=80 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

Следовательно, 0.03% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 0 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁ = ρ¹/1! p₀ = 80¹/1! • 0.000305 = 0.0244

заняты 2 канала:

p₂ = ρ²/2! p₀ = 80²/2! • 0.000305 = 0.98

Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 98% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.98 = 0.0247

Следовательно, 2% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 85%.

Среднее число каналов, занятых обслуживанием.

n_з = ρ • p_обс = 80 • 0.0247 = 1.98 канала.

Среднее число простаивающих каналов.

n_пр = n - n_з = 2 - 1.98 = 0 канала.

Коэффициент занятости каналов обслуживанием.

Следовательно, система на 100% занята обслуживанием.

Абсолютная пропускная способность.

A = p_обс • λ = 0.0247 • 8 = 0.2 заявок/мин.

Среднее время простоя СМО.

t_пр = p_отк • t_обс = 0.98 • 10 = 9.75 мин.

Среднее число обслуживаемых заявок.

L_обс = ρ • Q = 80 • 0.0247 = 1.98 ед.

Число заявок, получивших отказ в течение часа: λ • p₁ = 7.84 заявок в мин.

Номинальная производительность СМО: 2 / 10 = 0.2 заявок в мин.

Фактическая производительность СМО: 0.2 / 0.2 = 99% от номинальной производительности.

 

При n=3 (3 бухгалтера)

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁ = ρ¹/1! p₀ = 80¹/1! • 1.1E-5 = 0.000902

заняты 2 канала:

p₂ = ρ²/2! p₀ = 80²/2! • 1.1E-5 = 0.0361

заняты 3 канала:

p₃ = ρ³/3! p₀ = 80³/3! • 1.1E-5 = 0.96

Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 96% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.96 = 0.0374

Следовательно, 4% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 85%.

 

При n=4 (4 бухгалтера)

Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

1,0Е-6

Следовательно, 0% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 0 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁ = ρ¹/1! p₀ = 80¹/1! • 1.0E-6 = 4.4E-5

заняты 2 канала:

p₂ = ρ²/2! p₀ = 80²/2! • 1.0E-6 = 0.00176

заняты 3 канала:

p₃ = ρ³/3! p₀ = 80³/3! • 1.0E-6 = 0.0469

заняты 4 канала:

p₄ = ρ⁴/4! p₀ = 80⁴/4! • 1.0E-6 = 0.94

Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 94% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.94 = 0.0613

Следовательно, 6% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 85%.

 

При n=5 (5 бухгалтеров)

Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

0

Следовательно, 0% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 0 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁ = ρ¹/1! p₀ = 80¹/1! • 0 = 2.0E-6

заняты 2 канала:

p₂ = ρ²/2! p₀ = 80²/2! • 0 = 9.6E-5

заняты 3 канала:

p₃ = ρ³/3! p₀ = 80³/3! • 0 = 0.00256

заняты 4 канала:

p₄ = ρ⁴/4! p₀ = 80⁴/4! • 0 = 0.0512

заняты 5 канала:

p₅ = ρ⁵/5! p₀ = 80⁵/5! • 0 = 0.82

Доля заявок, получивших отказ.

Значит, 82% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0.82 = 0.18

Следовательно, 18% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 85%.

При n=6 (6 бухгалтеров)

Вероятность, что канал свободен (доля времени простоя каналов).

 

Следовательно, 0% в течение часа канал будет не занят, время простоя равно t_пр = 0 мин.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p₁ = ρ¹/1! p₀ = 80¹/1! • 0 = 0

заняты 2 канала:

p₂ = ρ²/2! p₀ = 80²/2! • 0 = 0

заняты 3 канала:

p₃ = ρ³/3! p₀ = 80³/3! • 0 = 0

заняты 4 канала:

p₄ = ρ⁴/4! p₀ = 80⁴/4! • 0 = 0

заняты 5 канала:

p₅ = ρ⁵/5! p₀ = 80⁵/5! • 0 = 0

заняты 6 канала:

p₆ = ρ⁶/6! p₀ = 80⁶/6! • 0 = 0

Доля заявок, получивших отказ.

 

Заявки не получают отказ. Обслуживаются все поступившие заявки.

Вероятность обслуживания поступающих заявок.

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p_отк + p_обс = 1

Относительная пропускная способность: Q = p_обс.

p_обс = 1 - p_отк = 1 - 0 = 1

Следовательно, 100% из числа поступивших заявок будут обслужены. Приемлемый уровень обслуживания должен быть выше 85%.

Ответ: Чтобы обеспечить вероятность обслуживания более 85%, необходимо не менее шести бухгалтеров.

 

РЕШЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ MS EXCEL

1. Оценим основные характеристики работы бухгалтерии как СМО с отказами (рис.1).

Рис.1. Вычисления по формулам Эрланга

Вводим значения параметров = 10 и =в ячейки С2 и СЗ.

Вычисляем значение нагрузки на систему по формуле в ячейке С4.

Вводим в ячейки В7:В16 возможные значения числа каналов п от 1 до 10.

Вычисления в Excel по формулам Эрланга организуем следующим образом. В ячейку С7 вводим формулу: =1+С4.

В ячейку С8 вводим формулу:

=(1+C4+(C4^B8)/B8)^(-1)

В ячейку С9 вводим формулу:

=((1+C4+(C4^B9)/B9)+D7+D8)^(-1)

В ячейку С10 вводим формулу:

=((1+C4+(C4^B10)/B10)+D7+D8+D9)^(-1)

В ячейку С11 вводим формулу:

=((1+C4+(C4^B11)/B11)+D7+D8+D9+D10)^(-1)

В ячейку С12 вводим формулу:

=((1+C4+(C4^B12)/B12)+D7+D8+D9+D10+D11)^(-1)

В ячейку С13 вводим формулу:

=((1+C4+(C4^B13)/B13)+D7+D8+D9+D10+D11+D12)^(-1)

В ячейку С14 вводим формулу:

=((1+C4+(C4^B14)/B14)+D7+D8+D9+D10+D11+D12+D13)^(-1)

В ячейку С15 вводим формулу:

=((1+C4+(C4^B15)/B15)+D7+D8+D9+D10+D11+D12+D13+D14)^(-1)

В ячейку С16 вводим формулу:

=((1+C4+(C4^B16)/B16)+D7+D8+D9++D10+D11+D12+D13+D14+D15)^(-1)

Функции СТЕПЕНЬ (число; степень) и ФАКТР (число) можно ввести с клавиатуры или вызвать с помощью Мастера функций, вызвав категорию математические.

Для каждого значения п от 1 до 10 вычисляем вероятность Р_о по формуле:

 

 

В ячейку D7 вводим формулу: = 1/С7. Копируем эту формулу в ячейки D9:D16.

Для каждого значения п от 1 до 10 вычисляем вероятность P_отк по формуле:

Р_отк= Р_n=

В ячейку Е7 вводим формулу: =D7*(C4^B7)/B7

В ячейку Е8 вводим формулу =D8*(C4^B8)/B8

В ячейку Е9 вводим формулу =D9*(C4^B9)/B9

В ячейку Е10 вводим формулу =D10*(C4^B10)/B10

В ячейку Е11 вводим формулу =D11*(C4^B11)/B11

В ячейку Е12 вводим формулу =D12*(C4^B12)/B12

В ячейку Е13 вводим формулу =D13*(C4^B13)/B13

В ячейку Е14 вводим формулу =D14*(C4^B14)/B14

В ячейку Е15 вводим формулу =D15*(C4^B15)/B15

В ячейку Е16 вводим формулу =D16*(C4^B16)/B16

Вычислим также некоторые основные характеристики данной мастерской как СМО с отказами при п = 2 (рис.2).

Относительная пропускная способность B. т.е. вероятность того, что заявка будет обслужена, вычисляется по формуле:

В=1- Р_отк = 1-Р₀ (в ячейку В20 вводим =1-В19).

Абсолютную пропускную способность А получим, умножая интенсивность потока заявок на В:

 

 

(в ячейку В22 вводим =С2*В20).

Среднее число занятых каналов М вычисляется по формуле:

В ячейку В24 вводим =В22/С3

 

 

Рис. 2. Вычисление некоторых характеристик СМО с отказами