Факторный анализ формирования уровня определенных видов процентных ставок.

Статистический анализ факторов, оказывающих влияние на уровень и динамику процентных ставок, заключается в изучении влияния одних видов ставок на другие, оценке через систему важнейших экономических показателей воздействия политических и экономических событий в жизни общества на стоимость ссудных средств, характеристике уровня инфляции и т.д.

Для изучения влияния одних процентных ставок на другие целесообразно проводить корреляционно-регрессионный анализ, позволяющий измерить тесноту связи между изучаемыми показателями (корреляционный анализ) и определить теоретическую форму связи между ними (регрессионный анализ). Прежде всего необходимо получить подтверждение о том, что связь между двумя или более изучаемыми показателями существует, а затем измерить ее.

Когда анализу подвергается влияние одного показателя (фактора, х) на другой (результат, y), т.е. в случае парной корреляции, чаще всего применяют линейный коэффициент корреляции. В теории разработаны различные модификации формул данного коэффициента. С нашей точки зрения наиболее простая формула следующая:

r_xy = ((x*y)_cp. – x_ср*y_ср)/σ_х*σ_y,[74] (30)

Возможны и такие записи формулы коэффициента корреляции:

r_xy = (∑(х_i - х¯)*(y_i - y¯))/√∑(х_i - х¯)²*∑(y_i - y¯)² (31)

или

r_xy = (∑(х_i - х¯)*(y_i - y¯))/n*σx*σy.[75] (32)

Значение этого коэффициента располагает в пределах от -1 до 1. При r = 0 связь отсутствует, а при r = 1(-1) связь характеризуется как функциональная, т.е. каждому значению фактора соответствует одно значение результата. Отрицательное значение коэффициента свидетельствует о том, что связь между показателями обратная, а положительное – зависимость прямая.

Коэффициент корреляции – симметричная мера связи, т.е. это мера взаимосвязи между x и y. Поэтому r_xy = r_yх.

Следует также отметить, что квадрат коэффициента корреляции представляет собой коэффициент детерминации:

Коэффициент детерминации = r². (33)

Коэффициент детерминации часто более предпочтителен для измерения связи, так как он может быть использован для измерения не только линейных, но и нелинейных связей. Данный коэффициент принимает значения в интервале [0; 1]. Чем ближе к 1, тем теснее связь, и наоборот.[76]

Пример 3´´´. Основываясь на данных примера 3, измерим тесноту связи между уровнями различных процентных ставок. В качестве результативного показателя определим уровень межбанковской ставки (y), а в качестве факторов – уровни депозитной ставки (х₁), ставки по кредитам (х₂).

Таблица 12 - Процентные ставки по важнейшим элементам рынка ссудных капиталов в России за 2006 г и необходимые расчеты

Виды ставок	I-06	II-06	III-06	IV-06	Хср.	σ
Межбанковская ставка (y)	3,2	2,8	2,6	5,1	3,4	0,99
Депозитная ставка (х1)	3,9	4,2	4,0	4,1	4,1	0,12
Ставка по кредитам (х2)	10,4	10,8	10,3	10,4	10,5	0,19

Таблица 13 – Расчетные данные по составляющим формул

Периоды	x1*y	x2*y
I-06	3,9*3,2 = 12,48	10,4*3,2 = 33,28
II-06	4,2*2,8 = 11,76	10,8*2,8 = 30,24
III-06	4,0*2,6 = 10,4	10,3*2,6 = 26,78
IV-06	4,1*5,1 = 20,91	10,4*5,1 = 53,04
Итого:	55,55	143,34
(x*y)cp.:	13,89	35,8

х_1ср*y_ср = 4,1*3,4 = 13,94;

x_2ср*y_ср = 10,5*3,4 = 35,7.

σ _х1* σ_y = 0,99*0,12 = 0,12;

σ _х2* σ_y =0,19*0,99 = 0,19.

r_x1y = (13,89-13,94)/0,12 = -0,42;

r_x2y = (35,8-35,7)/0,19 = 0,53.

r²_x1y = 0,18;

r²_x2y = 0,28.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что между межбанковской ставкой и ставкой по кредитам присутствует прямая, но не совсем тесная зависимость, следовательно, влияние со стороны ставки по кредитам на межбанковскую ставку имеется, но лишь в половине случаев ее изменений «виновата» ставка по кредитам. А между межбанковской и депозитной ставкой в 2006 г. наблюдается обратная, причем слабая связь, плюс к этому, незначительность зависимости можно объяснить и тем, что в данный период депозитная ставка характеризовалась наибольшей устойчивостью и стабильностью, значит не было таких факторов, которые бы оказали сильное влияние, что нельзя сказать про межбанковскую ставку, изменяющуюся в значительной степени в рассматриваемый интервал времени, по всей видимости, вследствие влияния многих факторов, включая политические и экономические.

Когда проводят анализ влияния нескольких факторов (х₁, х₂, …, х_n) на результат (y), т.е. в случае множественной корреляции, рассчитывают парные, частные и совокупные коэффициенты корреляции.

Коэффициенты парной корреляции называются коэффициентами нулевого порядка. На их основе можно рассчитать коэффициенты частной корреляции, под которой понимается чистая (очищенная) корреляция между двумя переменными при погашении связи с другими переменными.[77]

С помощью частных коэффициентов корреляции можно оценить степень тесноты связи между факторами х₁ и х₂, т.е. при фиксированном значении других факторов. Коэффициент, в котором исключается влияние одного фактора, называется частным коэффициентом корреляции первого порядка, при исключении двух факторов – второго порядка и т.д.

Поскольку влияние на уровень межбанковской ставки двух рассматриваемых ставок: ставки по кредитам и депозитной ставки, нельзя назвать сильным, что мы можем наблюдать благодаря расчету линейного коэффициента корреляции, то, на наш взгляд, бессмысленно рассчитывать частные коэффициенты (ту зависимость, которая имеется, мы уже определили).

Но если бы мы решили все-таки рассчитать частные коэффициенты корреляции первого порядка r _yx1(х2) и r _{yx2 (х1)}, то осуществляли бы это по следующим формулам:

r _yx1(х2) = (r _yx1 – r_х1х2* r _yx2)/√(1- r²_yx2)*(1- r²_х1х2); (34)

r _{yx2 (х1)} = (r _yx2 - r_х1х2* r _yx1)/√(1- r²_yx1)*(1- r²_х1х2). (35)

Где r – парные коэффициенты корреляции между показателями, указанными в подстрочных индексах.

Можно заметить, что для вычисления по заданной формуле вначале необходимо рассчитать: r_х1х2 = ((х₁*х₂)_ср - х_1ср*х_2ср)/ σ_х1*σ_х2.

Совокупный коэффициент корреляции характеризует тесноту связи между результативным и несколькими факторными показателями. В случае оценки связи между результатом и двумя факторами данный коэффициент рассчитывается по следующей формуле:

R_{y (x1x2)} = √ (r²_yx1 + r²_yx2 – 2* r _yx1 * r _yx2 * r_х1х2)/(1 - r²_х1х2). (36)

Значение совокупного коэффициента корреляции изменяются от 0 до 1. Приближение к единице свидетельствует о тесной связи между изучаемыми показателями. Следует отметить, что при небольшом числе наблюдений величина совокупного коэффициента корреляции, как правило, завышается.

Важным моментов в данном случае является также то, что коэффициент множественной корреляции должен быть не меньше максимального из парных или частных коэффициентов корреляции: R_{y x1 x2…хk} ≥ max {r_{y xi}, r_{y xi x1 x2…хk}}.[78]

После проведения корреляционного анализа принимается решение о целесообразности построения уравнения регрессии, с помощью которого определяется аналитическое выражение формы связи между отдельными видами процентных ставок. С помощью регрессионного анализа выявляется изменение одной величины (результата) под влиянием одного или нескольких факторов, а множество прочих причин, оказывающих влияние на результат, принимается за постоянные и средние значения.

Чаще всего используется линейное уравнение парной регрессии:

y_x^ = a + b*х, (37)

где y_x^ - среднее значение результативного признака при определенном значении факторного признака х;

а – свободный член уравнения регрессии;

b – коэффициент регрессии, который показывает, на сколько единиц в среднем изменится результативный признак при изменении факторного признака на одну единицу его измерения.

Знак при коэффициенте регрессии соответствует направлению зависимости y от х: b>0 – зависимость прямая; b<0 – зависимость обратная. Если в исходных данных имеется нулевое значение х, то свободный член а показывает среднее значение y при х = 0. Во всех остальных случаях а – доводка, обеспечивающая следующее равенство:

y¯ = a + b*x¯. (38)

Если необходимо отразить нелинейность зависимости y от х, то могут быть использованы следующие уравнения регрессии:

· y^ = a + b/x,

· y^ = a + b*x + c*x²,

· y^ = a * b^x,

· y^ = a * x^b,

и т.д. Причем, перечисленные регрессии приводятся к линейному виду (линеаризуются) путем замены переменных или логарифмирования.

Параметры линейного уравнения парной регрессии находятся методом наименьших квадратов и затем преобразуют до следующего вида:

a = y¯ - b*x¯; b = ((y*x)_ср – y_ср * х_ср)/(х²_ср – (х_ср)²). (39)

Коэффициент регрессии можно найти на основе коэффициента корреляции. Поскольку:

r_yх = ((x*y)_cp. – x_ср*y_ср)/σ_х*σ_y; b = ((y*x)_ср – y_ср * х_ср)/ σ_х²,

то b = r_yх*(σ_y/σ_х). (40)

Пример 3´´´´. Для нашего примера 3, учитывая, что нам уже известны σ _х1, σ _х2, σ_y и r_x1y, r_x2y получаем:

b1 = -0,42*(0,99/0,12) = -3,5;

b2 = 0,53*(0,99/0,19) = 2,8.

а1 = 3,4 – (-3,5) * 4,1 = 17,75;

а2 = 3,4 – 2,8 * 10,5 = -26.

y_х1^ = 17,75 – 3,5 * х;

y_х2^ = -26 + 2,8 * х.

В отличие от коэффициента корреляции коэффициент регрессии является асимметричной характеристикой связи: он характеризует не просто связь между переменными, а зависимость изменения y от х, но не наоборот, т.е. b_yx = b_xy.

По уравнениям y_х1^ = 17,75 – 3,5 * х; y_х2^ = -26 + 2,8 * х рассчитаем теоретические значения y_х1^ и y_х2^.

Таблица 14 - Процентные ставки по важнейшим элементам рынка ссудных капиталов в России за 2006 г и теоретические значения y_х1^ и y_х2^.

Виды ставок	I-06	II-06	III-06	IV-06
Межбанковская ставка (y)	3,2	2,8	2,6	5,1
Депозитная ставка (х1)	3,9	4,2	4,0	4,1
Ставка по кредитам (х2)	10,4	10,8	10,3	10,4
yх1^ = 17,75 – 3,5 * х1	4,1	3,05	3,75	3,4
yх2^ = -26 + 2,8 * х2	3,12	4,24	2,84	3,12

Отклонения фактической межбанковской ставки от реальной присутствуют, причем довольно значительные в отдельных кварталах. Средняя ошибка аппроксимации определяется следующим образом:

ε¯ = (∑׀y_i - y_i^׀)/∑y_i. (41)

Таблица 15 – Расчетные данные для вычисления ε¯

Межбанковская ставка (yi)	׀yi - yi^׀ по х1	׀yi - yi^׀ по х2
3,2	0,9	0,08
2,8	0,25	1,44
2,6	1,15	0,24
5,1	1,7	1,98
∑13,7		3,74

ε_х1¯ = 29,2% и ε_х2¯ = 27,3%. Полученные значения полностью убеждают нас, что отклонения фактического уровня межбанковской ставки от реального имеется, причем приближенное выражение y через х₁ и приближенное выражение y через х₂ имеют приблизительно одинаковый процент ошибок, который можно даже назвать в какой-то степени значительным.

Соотношение объясненной колеблемости и общей колеблемости y позволяет определить степень детерминации регрессией вариации y, т.е. найти коэффициент детерминации:

η² = ∑(y_i^ - y¯)²/∑(y_i - y¯)². (42)

Таблица 16 - Расчетные данные для определения η²

по х₁ по х₂

yi^ - y¯	(yi^ - y¯)2	yi - y¯	(yi - y¯)2	yi^ - y¯	(yi^ - y¯)2	yi - y¯	(yi - y¯)2
0,7	0,49	-0,2	0,04	-0,28	0,08	-0,2	0,04
-0,35	0,12	-0,6	0,36	0,84	0,7	-0,6	0,36
0,35	0,12	-0,8	0,64	-0,56	0,3	-0,8	0,64
		1,7	2,89	-0,28	0,08	1,7	2,89
∑	0,73	∑	3,93	∑	1,16	∑	3,93

На основании всех полученных данных рассчитываем η₁² = 0,73 / 3,93 = 0,18 или 18% и η₂² = 1,16 / 3,93 = 0,28 или 28%, т.е. данные коэффициенты детерминации совпадают с ранее полученными коэффициентами детерминации. Выводы остаются теми же: 18% и 28% далеки до 100%, следовательно теснота связи присутствует, но она относительно мала.

Рассмотрим графическое представление парной линейной регрессии.

 

Рисунок 4 - Эмпирическая и теоретическая линии регрессии по первому варианту расчетов.

 

Рисунок 5 - Эмпирическая и теоретическая линии регрессии по второму варианту расчетов.

Таким образом, для наглядного изображения теоретической формы связи значения показателей, полученных с помощью уравнения регрессии, мы наносят на графики и сравниваем их с эмпирическими данными. Внимательно рассмотрев полученные рисунки, мы окончательно понимаем, что степень зависимости изменений y от х₁ и х₂ находится примерно на одном уровне, потому что сильные отклонения от теоретической линии регрессии имеет как эмпирическая линия регрессии, построенная с учетом депозитной ставки, так и эмпирическая линия регрессии, построенная с учетом ставки по кредитам. Т.е. сравнение фактических значений с рассчитанными по уравнению регрессии позволяет нам делать выводы о значении факторного признака (депозитной ставки и ставки по кредитам) в формировании результативной переменной (межбанковской ставки).

Регрессия может быть как однофакторной (парной), так и многофакторной (множественной), как и в случае с корреляцией. Математически корреляционная зависимость результативной переменной от нескольких факторных (объясняющих) переменных описывается уравнением множественной регрессии.

Чаще всего используют линейное уравнение множественной регрессии:

y^_{х1 х2 … хk} = а + b_{1.2 … k}*x₁ + b_2.13…k * x₂ + b_3.124…k * x₃ + … + b_k.12…k-1 * x_k.[79] (43)

При записи линейного уравнения множественной регрессии для коэффициентов регрессии введены подстрочные значки, подчеркивающие, что каждый их коэффициентов регрессии является «чистой» мерой влияния изменения х_j на y в отличие от коэффициента регрессии в уравнении парной регрессии, где влияние изменений прочих переменных – факторов не устраняется.

Интерпретация коэффициентов регрессии линейного уравнения множественной регрессии следующая: они показывают, на сколько единиц в среднем изменяется y при изменении x_i на свою единицу измерения и закреплении прочих введенных в уравнение объясняющих переменных на среднем уровне.

Таким образом, корреляционно-регрессионный анализ является основой для определения и проведения качественного исследования факторов, влияющих на уровень различных процентных ставок.