Теорема Штейнера

Если известен момент инерции тела относительно оси ОО', проходящей через центр масс тела (обозначим его I_o), то момент инерции тела относительно любой параллельной ей оси ZZ'

(обозначим его I ) равен

,

где m – масса тела, d – расстояние между осями (рис. 4).

 

Рис. 4

Рис. 5

Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу (рис. 5): .

Модуль момента силы равен , где α – угол между и , - плечо силы (l - длина перпендикуляра, опущенного из точки О на направление действия силы (рис. 5)).

Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: , то есть направление совпадает с направлением (рис. 4). Моментом силы M_z относительно неподвижной оси ZZ' называется проекция этого момента на данную ось.

Рис. 6

Моментом импульса материальной точки относительно произвольной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора этой материальной точки, проведенного из точки О, на величину ее импульса (m - масса материальной точки, – ее скорость при поступательном движении или линейная скорость ее при вращательном движении), то есть . Вектор направлен так же, как и вектор угловой скорости , т. е. вдоль оси вращения, согласно правилу правого винта (рис. 6).

Если твердое тело, вращающееся вокруг некоторой неподвижной оси ZZ', представить в виде совокупности элементарных масс, и спроектировать моменты импульсов всех этих элементарных масс на это направление, получим момент импульса тела L_z относительно этой оси. Суммирование производим по всем элементарным массам m_i, на которые разбивается тело.

,

так как , где ω - угловая скорость вращения тела, I – момент инерции твердого тела. В общем случае .

Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы тел не меняется со временем, причем это утверждение справедливо для момента импульса, взятого относительно любой точки инерциальной системы отсчета. Этот закон выполняется только в инерциальных системах отсчета.

Кинетическая энергия измеряется работой, которую тело может произвести благодаря инерции при затормаживании тела до полной остановки. Кинетическая энергия материальной точки массы m при поступательном движении со скоростью V определяется фор-мулой Е_к = . При вращательном движении роль массы m выпол-няет момент инерции I, а вместо скорости V выступает угловая скорость ω, и формула кинетической энергии при вращательном движении материальной точки приобретает вид: E_{к вращ} .

Потенциальная энергия измеряется работой, которую тело может совершить при перемещении его из одного простран-ственного положения в другое. Так, потенциальная энергия тела массы m, поднятого на высоту h над поверхностью Земли E_пот = mgh. Потенциальная энергия упруго деформированной пружины Е_пот =, где k – коэффициент упругости, х – деформация пружины. Потенциаль-ная энергия при закручивании стержня Е_пот =, где D – константа, зависящая от упругих свойств стержня при его кручении (так называ-мый модуль кручения), α_о – угол деформации при закручивании.

Закон сохранения механической энергии гласит: полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной, возможны лишь превращения кинетической энергии в потенциальную и наоборот. Напомним, что консервативными называют силы, работа которых по замкнутой траектории равна нулю. Так, при закручивании упругого стержня (нити) закон сохранения энергии может быть записан как .

Описание экспериментальной установки

Используемый в данной работе крутильный баллистический маятник, внешний вид которого показан на рис. 7, представляет собой горизонтально расположенный стержень, подвешенный на упругой нити. С одной стороны стержня (см. рис. 8) находится мишень, а с другой стороны – ее противовес.

Рис. 7. Внешний вид установки для измерения скорости снаряда методом крутильных колебаний

 

1 – снаряд 2 – упругая нить 3 – рамка

4 – съемные грузы (m1) 5 5 – мишень 6 6 – противовес

Рис. 8. Схематическое устройство крутильного баллистического маятника

На стержне закреплена рамка с двумя съемными грузами m₁, что позволяет изменять момент инерции колебательной системы. После попадания снаряда в мишень, система начинает совершать колебательное движение вокруг вертикальной оси ОО^'.

Теория метода измерения

Запишем законы сохранения момента импульса и энергии, пренебрегая, ввиду малости его значения, моментом сил трения, в следующем виде:

mV = (I₁ + m²) w (1) , (2)

где m - масса снаряда,

V - скорость снаряда в момент попадания его в мишень,

- расстояние от оси вращения ОО^' до точки попадания снаряда в мишень,

I₁ - момент инерции маятника,

w - угловая скорость маятника в момент попадания снаряда в мишень,

a₀ - наибольший угол отклонения стержня от положения равновесия,

D - модуль кручения.

Выразим w² из уравнений (1) и (2)

ω² = (3) ω² = . (4)

Приравняв правые части (3) и (4), получаем выражение для V² в виде

.

Для данной конкретной установки ml² « I₁, и формула для определения скорости снаряда принимает вид:

. (5)

Для исключения величины D воспользуемся основным уравнением динамики вращательного движения твердого тела

,

где М - момент сил упругости, ε – угловое ускорение мишени со снарядом.

В свою очередь, M = – Dα. Знак (-) указывает на то, что этот момент возвращает систему в состояние устойчивого положения равновесия. Тогда

I₁ε = –Dα . (6)

Здесь α – угол поворота стержня с закрепленной на нем мишенью. Учитывая, что угловое ускорение ε = , перепишем уравнение (6) в виде

.

Введя обозначение , приходим к уравнению

.

А это - дифференциальное уравнение гармонических колебаний и его решением является уравнение вида: α = α₀ sin ωt. Поскольку период колебаний: T = , то формула для определения периода колебаний крутильного баллистического маятника с грузами m₁ запишется в виде:

T₁ =, (7) откуда . (7а)

Уменьшим момент инерции системы на величину ∆I, сняв оба груза m₁. Согласно теореме Штейнера, можно найти изменение момента инерции системы ∆I = 2(I₀ + m₁d²), где – момент инерции грузов - дисков (массой m₁ и радиусом r) относительно собственной оси симметрии, через d обозначено расстояние от оси ОО^' до оси грузов, получим значение нового периода колебаний системы Т₂ для системы со снятыми грузами m₁:

T₂ =, (8) откуда . (8а)

Совместное рассмотрение (7а) и (8а) позволяет получить значение I₁:

.

Для используемой нами установки m₁r ² « 2 m₁d ², поэтому

. (9)

Подставляя значения D и I₁ в формулу (5), получаем рабочую формулу для определения скорости снаряда:

. (10)

Здесь T₁ и T₂ – периоды колебаний нагруженного и ненагруженного баллистического крутильного маятника соответственно; m₁ - масса съемных грузиков, m – масса снаряда; l – расстояние от оси вращения системы до следа снаряда на мишени; d – расстояние от съемных грузов m₁ до оси вращения ОО', α₀ – максимальный угол поворота стержня.

Измерения

Они сводятся к определению периодов колебания T₁ и T₂ нагруженного и ненагруженного (со снятыми грузами m₁) баллистического колебательного маятника, а также определению угла максимального отклонения α₀ стержня с мишенью после попадания в нее снаряда. Расстояние l от оси вращения рамки ОО^' до центра отпечатка снаряда, залипшего в мишени, измеряется миллиметровой линейкой. Значения m₁, m и d, необходимые для расчета скорости, указаны на рабочем месте.

Порядок выполнения

1. Закрепить на рамке грузы m₁.

2. Установить снаряд на направляющий стержень спускового устройства, сжать пружину и, повернув вокруг оси спусковое устройство, зарядить снаряд.

3. Заметить нулевое положение флажка отсчетного устройства угла поворота рамки.

4. Произвести выстрел.

5. Визуально определить максимальный угол отклонения флажка с учетом нулевого положения.

6. Измерить миллиметровой линейкой – расстояние от оси ОО^' до центра отпечатка снаряда на мишени.

7. Произвести три выстрела и взять среднее значение α₀ и .

Дальнейший ход выполнения работы со снарядом уже никак не связан, поэтому его необходимо снять с установки. Определяем Т₁ - период колебаний нагруженного маятника. Включаем в сеть электронный блок для отсчета времени и определения числа колебаний, нажимаем кнопку «сброс», осторожно поворачиваем рамку с мишенью до захвата ее электромагнитом установки. После этого нажимаем кнопку «пуск», отсчитываем n = 10 ÷ 12 периодов колебаний и нажимаем «стоп». Записываем время t₁, за которое совершилось n колебаний. Определяем период колебаний . Измерения проводим три раза и определяем среднее значение периода колебаний T₁.

Для определения T₂ - периода колебаний ненагруженного маятника - снимаем оба груза m₁, нажимаем «сброс», поворачиваем мишень до захвата ее электромагнитом, нажимаем «пуск» и после n = 10 ÷ 12 колебаний нажимаем «стоп». Записываем время t₂. Определяем период колебаний . Измерения проводим три раза и определяем среднее значение периода колебаний T₂.

Скорость снаряда вычисляем по формуле (10)

,

где , α_о , Т₁, Т₂ – средние значения измеренных величин.

Относительная погрешность определения скорости снаряда вычисляется по алгоритму расчета погрешностей для косвенных измерений

;

;

. (11)

Так как , то , и доверительный интервал ΔT для периодов T₁ и Т₂ определяется как . Доверительные интервалы для величин m, m₁, d, , α_о и t₁ приведены в таблице измерений.

Абсолютная погрешность скорости снаряда вычисляется по формуле

. (12)

Записать окончательный результат измерения скорости снаряда в виде:

. (13)

N

d

Δd

m1

m

Δm, Δm1

αо

Δαо

l

Δl

n

с грузами m1

без грузов m1

V

εV

ΔV

t1

Т1

Δt1, Δt2

ΔT1

t2

Т2

ΔT2

-

м

м

кг

кг

кг

рад

рад

м

м

-

c

c

c

с

с

с

с

м/с

-

м/с

0,0005

0,0001

0,0027π

0,0005

0,01

cр

-

-

Таблица прямых и косвенных измерений

Контрольные вопросы

1. Объясните устройство крутильного баллистического маятника.

2. Что называют моментом инерции материальной точки? Твердого тела?

3. Сформулируйте теорему Штейнера.

4. Дайте определение момента силы. Как определяется направление момента силы?

5. Как определяется направление угловой скорости, момента импульса?

6. Сформулируйте закон сохранения момента импульса системы материальных точек.

7. Запишите формулу для определения периода колебаний крутильного баллистического маятника.

8. Назовите единицы измерения в «СИ» величин, входящих в рабочую формулу для определения скорости снаряда.

Рекомендуемая литература

1. Трофимова Т.И. Курс физики. - М.: Высш. школа, 2001.§4, 12, 13, 16 - 19.

2. Иродов И.Е. Механика. Основные законы. - М. – СПб.: Физматлит, 2001. § 1.2, 4.2, 4.3, 4.5, 5.1, 5.2, 5.4, 6.1.

3. Савельев И.В. Курс общей физики. В 5 кн. Кн.1. Механика: учеб. пособие для втузов. - М.: Астрель, 2002. § 1.5, 3.12, 5.4, 5.6, 8.4.