Решение.

а) В прямоугольной системе координат строим график зависимости переменных X и Y (рис.4). Для удобства выделим по пять интервалов изменения этих переменных, используя формулы:

и

Для переменной Х получим:

Длину интервала округлим в сторону увеличения, т.е. положим В результате получим следующие границы интервалов:

-10; -2; 6; 14; 22; 30.

Аналогичные расчеты производим для переменной Y:

 

Границы интервалов составят:

-4; 1; 6; 11; 16; 21.

На график наносим точки координаты которых соответствуют значениям переменных X и Y.

 

Рис.4

 

Визуально анализируя характер расположения точек на графике (рис.4), приходим к выводу, что связь между переменными X и Y может быть выражена линейным уравнением регрессии

б) Параметры уравнения регрессии находим методом наименьших квадратов, путем составления и решения системы нормальных уравнений:

 

Составим расчетную таблицу 10.

Таблица 10

	-10	-2,6		6,76	26,0
	-8	-3,2		10,24	25,6
	-6	-2,3		5,29	13,8
	-4	-2,0		4,00	8,0
	-2	2,3		5,29	-4,6
		-0,5		0,25	0,0
		4,0		16,00	8,0
		5,9		34,81	23,6
		5,3		28,09	31,8
		6,7		44,89	53,6
		5,4		29,16	54,0
		9,6		92,16	115,2
		10,3		106,09	144,2
		11,7		136,89	187,2
		12,8		163,84	230,4
		13,4		179,56	268,0
		10,5		110,25	231,0
		11,4		129,96	273,6
		14,5		210,25	377,0
		17,8		316,84	498,4
				1630,62	2564,8

 

Тогда система примет вид:

 

Решим систему по формулам Камера:

 

 

 

Следовательно,

 

Таким образом, уравнение регрессии Y на X имеет вид:

 

Построим линию регрессии Y на X по таблице:

X		-3,57
	1,86

Линия регрессии изображена на рисунке 4.

в) При линейной зависимости степень тесноты связи между X и Y определяется с помощью коэффициента корреляции:

 

где средние арифметические значения:

 

 

 

Найдем:

 

 

Вычислим средние квадратические отклонения и :

 

 

Отсюда,

Т.к. то между признаками связь очень тесная, близкая к линейной функциональной.

Коэффициент детерминации равен

г) Оценить значимость коэффициента корреляции.

Нулевая гипотеза - переменная X не оказывает существенного влияния на Y.

Конкурирующая гипотеза

Для проверки нулевой гипотезы применим критерий Стьюдента. Уровень значимости Коэффициент корреляции Найдем наблюдаемое значение критерия:

 

По таблице критических точек распределения Стьюдента по уровню значимости и числу степеней свободы найдем критическую точку:

двусторонней критической области.

Т.к. то нулевую гипотезу отвергаем.

Вывод: выборочный коэффициент корреляции значим, случайные величины X и Y коррелированы.

Задача 3.Известно, что между X и Y существует линейная корреляционная зависимость (табл.11).

а) найти уравнение прямой регрессии;

б) построить уравнение эмпирической линии регрессии и случайные точки выборки.

Таблица 11

XY	2,3,	3,8	5,3	6,8	8,3	9,8	11,3	12,8
				-	-	-	-	-
	-			-	-	-	-	-
	-	-				-	-	-
	-	-	-				-	-
	-	-	-	-				-
	-	-	-	-	-	-

а) Уравнение прямой регрессии Y на X имеет вид:

 

где - условная средняя;

и - выборочные средние признаков X и Y;

и - выборочные средние квадратичные отклонения;

- выборочный коэффициент корреляции.

Найдем выборочные средние и . (Целые числа внутри таблицы являются кратностями значений соответствующих случайных точек):

Определим средние арифметические значения , и :

 

Определим дисперсию и ковариацию.

 

Дисперсии:

Ковариация: Находим и

 

Определим коэффициент корреляции:

 

Вычислим значение произведения:

 

Т.к. то связь достаточно вероятна.

Уравнение прямой регрессии Y на X:

 

б) Построим линию регрессии по двум точкам:

X		-9,79
	1,097

и случайные точки выборки (рис. 5).

 

Рис.5