Третья теорема двойственности (теорема об оценках).

 

Объективно-обусловленные оценки ресурсов показывают насколько денежных единиц измениться максимальная прибыль при изменении запаса соответствующего ресурса на одну единицу, в случае если остается неизменной.

После того как оптимальное решение получено выявляется его чувствительность к определенным изменениям исходной модели, может представлять интерес, то как повлияет на оптимальное решение изменение запасов сырья в связи с этим необходимо получить ответы на следующие вопросы:

1. Увеличение объемов, какого вида ресурсов наиболее выгодно.

2. Насколько можно увеличить запас сырья для улучшения полученного оптимального значения целевой функции.

3. Целесообразность включения в план новых изделий.

 

Чувствительность решения к изменению запасов сырья.

Рассмотрим модель нашей задачи в матричной форме.

f(x) = cx max, где

х = (х₁,х₂,…,х_n) – вектор неизвестных

с = (с₁,с₂,…,с_n) – вектор коэффициентов при неизвестных в целевой функции.

, где - вектор свободных членов системы ограничений исходной задачи.

- матрица коэффициентов в системе ограничений.

Приведем задачу к каноническому виду, т.е. введем m дополнительных переменных.

Задача принимает вид

, где вектор неизвестных Х – будет теперь иметь размерность n+m, размерность матрицы А также измениться.

Пусть известен оптимальный план, разобьем наш вектор х на два подвектора

и х⁰ = 0

В первый включены неизвестные, вошедшие в базис оптимального решения, а вторые это свободные переменные, не вошедшие в базис.

Соответственно матрицу А тоже разобьем на две подматрицы А^* размерность, которой (mm) матрица которую формируют столбцы соответствующие не нулевым неизвестным в оптимальном плане. А⁰ (mn) – ее формируют столбцы соответствующие нулевым неизвестным в оптимальном плане.

Так как , то остается

Пусть , тогда

Матрица D характеризует влияние ресурсов на величину выпуска продукции Х.

Изменим размер выделенных ресурсов, т.е. дадим приращение вектору В, тогда мы получим

Это отношение определяет величину структурных сдвигов в выпуске продукции при изменении ограничений исходной задачи.

Из соотношений второй теоремы двойственности видно, что двойственные оценки тесным образом связаны с оптимальным планом исходной задачи, всякое изменении исходных данных прямой задачи может оказать влияние как на ее оптимальный план, так и на систему оптимальных двойственных оценок, поэтому чтобы проводить экономический анализ с использованием двойственных оценок нужно знать их интервал устойчивости.

Исходя из этого, мы имеем формулы дающие оценки нижних и верхних пределов устойчивости двойственных оценок при изменении каждого ограничения в отдельности, пределы уменьшения, т.е. нижняя граница, определяется по тем х_к для которых

Пределы увеличения определяются по тем х_к для которых

Определим интервал

При изменении запасов ресурса S₁ в пределах от трех до 18-ти единиц двойственная цена на него не меняется.

Найдем интервал устойчивости второго ресурса S₂.

При изменении запасов ресурса S₂ в пределах от 4 до 24 единиц двойственная оценка его не изменяется.

Задача №1.

На сколько измениться объем прибыли, если запас первого ресурса увеличиться на 2 единицы.

По третьей теореме двойственности

S₁ = 8 + 2 = 10

это изменение находиться в интервалах устойчивости двойственных оценок, поэтому можно воспользоваться теоремой об оценках.

Прибыль увеличилась на 0,8 денежные единицы.

 

Задача №2.

На сколько измениться объем прибыли, если запас первого сырья увеличиться на 5 единиц, а запас второго сырья уменьшиться на 3 единицы одновременно.

S₁ = 8 + 5 = 13

S₂ = 9 – 3 = 6

Оба изменения находятся в интервалах устойчивости двух оценок, поэтому можно воспользоваться теоремой об оценках

Объем прибыли увеличиться на 1,4 денежные единицы.

 

Задача №3. Целесообразность включения в план новых изделий.

Пусть в данной задаче предприятию были предложены на выбор 3 новых изделия, за счет которых можно было бы расширить номенклатуру выпускаемой продукции при тех же запасах ресурсов.

Нормы затрат ресурсов и прибыль от реализации единицы продукции для этих изделий представлены в таблице.

Ресурсы	Обьективно-обусловленные оценки	Затраты ресурсов на 1 изделие
Т3	Т4	Т5
S1	0,4
S2	0,2
Прибыль от реализации 1 шт.

 

Третий товар

S₁ = 8 – 4 = 4

S₂ = 9 – 2 = 7

Данные значения попадают в интервалы устойчивости

Сравниваем полученные затраты с прибылью от реализации одного изделия

, затраты покрываются полученной прибылью, значит введение данного товара целесообразно.

Четвертый товар

S₁ = 8 – 2 = 4

S₂ = 9 – 7 = 2 – не попадает в интервал

Значит, сами оценки могут измениться, поэтому нельзя решать задачу, используя третью теорему двойственности.

Пятый товар

S₁ = 8 – 1 = 7

S₂ = 9 – 4 = 5

Данные значения попадают в интервалы устойчивости

, затраты превышают прибыль, значит включать в план пятый товар не целесообразно.