15. Формула Гріна. 17. Поверхневий інтеграл I роду; Обчислити його. 18.Криволінійний інтеграл 2 роду; обчислення. 19.Теорема про рівність нулеві криволінійного інтеграла 2 роду по простому замкненому контуру.
15. Формула Гріна.
Формула Гріна встановлює зв'язок між подвійним інтегралом і криволінійним інтегралом 2 роду. 
Розглянемо подвійний інтеграл 
Запишемо його вигляді повторного інтеграла, а саме, 
=
(*). Кожен із отриманих інтегралів може бути замінений криволінійним інтегралом:
=
Ці інтеграли дорівнюють нулю, оскільки відрізки PS, RQ є перпендикулярними до осі Ox. Тоді =
+
+
+
=
Аналогічно отримаємо формулу 
(*)
Віднімаючи почленно від рівності (*) рівність(**) отримаємо 
17. Поверхневий інтеграл I роду; Обчислити його.
Нехай 
проста поверхня, задана рівнянням 
= 
і на цій поверхні визначена неперервна функція F(x,y,z). Подвійний інтеграл 
наз. поверхневим інтегралом I роду від функції F(x,y,z) по поверхні 
і позначають 
. Отже за означенням 
. Використавши формулу dS= 
=
отримаємо вираз для обчислення інтеграла І роду:
. Якщо поверхня задана явним рівнянням z=f(x,y), то формула набуде вигляду 
.
Приклад. Обчислити поверхневий інтеграл 
де 
-поверхня конуса z=x
+y, 0≤z≤1,
18.Криволінійний інтеграл 2 роду; обчислення.
Якщо вздовж кривої (АВ) визначені функції P(x,y) і Q(x,y) і існують інтеграли 
і 
, то суму цих двох інтегралів називають загальним криволінійним інтегралом 2 роду і позначають так: 
. Аналогічно виводять поняття криволінійного інтеграла 2 роду по просторовій кривій (АВ). Нехай на кривій (АВ) задана функція f(x,y,z). Будуємо аналогічно міркуючи отримаємо.
Обчислення :
У випадку просторової кривої яка задана параметричними рівняннями x=
, y=
z=
де 
, де ,- неперервно диференційовані функції на відрізку[
], криволінійний інтеграла обчислюється за фоммулою 
dt
Випадок коли плоска крива АВ задана явним рівнянням y=
, де 
= неперервнодиференційовна функція на проміжку [a,b]. Тоді взявши за параметр x=t формула криврл. Інтегралу набуде вигляду 
, якщо рівняння кривої задано x=
, с
то 
19.Теорема про рівність нулеві криволінійного інтеграла 2 роду по простому замкненому контуру.
Теорема: Нехай в однозв’язній області G
, функції P(x,y), Q(x,y) визначені і неперервні зі своїми похідними 
. Для того щоб виконувалася рівність 
(*) де L-простий заикнутий контур в області G виконувалася рівність 
(**).
Необхідність. Нехай виконується рівність (*) тоді за формулою Гріна 
(***)де D
G.
Припустимо що рівність (*) виконується а умова (**) не виконкється хоч би в одній точці тобто 
в точці М
(x,y)D. Нехай 
>0 в точці М. оскільки є неперервною функцією в області G,то це означає що вираз 
буде додатнім в деякому достатньому малому околі 
точки М. Тобі 
, що суперечить умові (***) . наше припущення не правильне. Отже 
Достатність. Дано . Довести що 
Візьмемо довільний контур L, що обмежує область D
G. За формулою Гріна 
20.Звязок криволінійного інтегралу 2 роду з повним диференціалом функції(відновлення функції F(x,y)).
Для того щоб вираз Pdx + Qdy був повним диференціалом деякої функції F(x,y), необхідно і досить виконання рівності 
.
Дано: вираз Pdx+Qdy є поданим диференціалом функції F(x,y). Доведемо що 
оскільки повний диференціал функції F(x,y), то 
і 
оскільки 
- неперервні функції, то за теоремою пропро рівність мішаних похідних 
=
, а це означає що .
21. Зведення потрійного інтегралу до повторного.
Обчислення потрійного інтеграла зводиться до обчислення повторного інтеграла як і у випадку з подвійними інтегралами.Нехій функція f(x,y,z) є неперервною в деякій замкненій області V
. А це означає, що існує потрійний інтеграл від функції f(x,y,z) по області V. Розглянемо область у вигляді паралелепіпеда
П={(x,y,z):a
}, який проектується на площину Ozy в прямокутник R={(y,z): 
}. Аналогічно,як і для подвійного інтеграла,доводять наступну теорему: Якщо для функції f(x,y,z)існує протрійний інтеграл 
і при кожному x
існує подвійний інтеграл 
=
, то існує повторний інтеграл 
і виконується рівність 
= 
.
Перейшовши в подвійному інтегралі до повторного отримаємо 
=
22. Зміна змінних у подвійному інтегралі;Перехід до полярних координат.
//Розглянемо подвійний інтеграл 
де D- область, обмежена простим кусково-гладким контуром L,a функція 
є неперервною в обл. D x=x(
), y=y(). Для того щоб змінити зміння перш за все потрібно розбит область D’ на n частинок (
), де D’ область на площині O
. потім розбивається область D на 
Переглянемо перехід в подвійному інтегралі до полярних координат: x=
де праві частини є неперервно диференційованими функціями за змінними 
і 
. Якобіан
І(
) =
=
=
Звідци ми отримуємо 
, де 
-улумент площі в полярних координатах,D-область інтегрування в декартовій системі координат, D
-область інтеграла в полярній системі
23. Обчислення площ та об’ємів за допомогою подвійного інтегралу.
Обчислити площу плоскої фігури D обмеженими лініями: x=a, x=b, y=Y(x), y=Y
(x).
На рис. D має вигляд: S=
Нехай тіло (V) обмежене поверхнями z=f
(x,y), z=f
(x,y), де функції f(x,y), f(x,y) визначені в області спільній D. Рис.
f(x,y)
Лего показати що об’єм V обчислюється за формулою: V=
24.Зведення подвійного інтегралу до повторного на елементарній області(л8п6)
Теорема.6. нехай 
- елементарна відносно осі Oy область, функція f(x,y) інтегрована в області і для кожного 
існує інтеграл 
Тоді має місце формула
￮ Нехай c=
Очевидно, що область лежить в прямокутнику 
.
Побудуємо функцію F(x,y) таким чином:
(2)
Оскільки функція F(x,y) інтегрована на множині і на 
, то існує подвійний інтеграл 
Існують для кожного інтеграли 
Отже виконуються всі умови теореми про зведення подвійного інтегралу до повторного. Тому
Підставивши(2) в останню формулу отримаємо рівність (1).
Наслідок. Для функції f(x,y) неперервної в області виконується формула (1)
25. Подвійний інтеграл та його властивості.(л8п3,4)
Розглянемо тіло V, яке зверху обмежене поверхнею 
, визначена на деякій області G
); з боку тіло обмежене циліндричною поверхнею; в основі маємо плоску область G:
Щоб обчислити об’єм тіла V використаємо традиційний в інтегральному численні спосіб. А саме:
1. Робиваємо шукану величину на елементарні частини
2. Наближено обчислюємо ці елементарні частини і сумуємо їх
3. Переходимо до границі суми
В даному випадку розбиває сіткою кривих область G на частинки 
. Позначимо площі цих частинок 
. Розглянемо циліндричні стовпчики 
, які мають основи 
і в сукупності складають тіло V.
Для обчислення об’єму 
циліндричного стовпчика 
візьмемо в кожній частині 
точку 
і побудуємо циліндр з основою , площа якої 
і висота 
.Об’єм такого елементарного циліндра дорівнює добутку 
і приблизно дорівнює об’ємові , тобто 
.
Тоді об’єм 
тіла V наближано обчислюється за формулою
(1)
Права частина рівності 1 є інтегральною сумою для функції 
, обмеженої в області G. Позначивша через 
- найбільший з діаметрів областей і перейшовши при 
до границі(якщо вона існує) отримаємо подвійний інтеграл
, який позначають 
.
Властивості подвійного інт. є аналогічними до властивостей кратного:
1.Правильна рівність 
Справді для довільного розбиття Т виконується рівність
2. Якщо 
і 
– інтегрована на вимірна за Жорданом множині G функція, то
3.Якщо 
- інтегровані на множині G функції, а 
і 
- довільні дійсні числа, то і функція 
є інтегрованою на G причому
4. якщо і 
- інтегровані на множині G функції і 
при 
, то
5.Якщо функція f(x) неперервна на зв’язному вимірному компакті G, то знайдеться точка 
така, що 
6. Якщо 
є розбиття множини G , то функція є інтегрованою на множині G тоді і тільки тоді, коли вона інтегрована на кожній із множин 
, причому
7.Добуток інтегрованих на вимірній множині G функцій є інтегрована на множині G функція.
8. Якщо функція інтегрована на вимірній множині G , то функція 
також інтегрована і
