Формула Стокса.

Формула Стокса встановлює зв'язок між поверхневим інтегралом і криволінійним інтегралом ІІ роду по кривій, що оточує цю поверхню. Нехай задана гладка поверхня . Позначимо символом межу цієї поверхні. Виберемо додатну орієнтацію поверхні, тобто якщо дивитися з кінця нормалі, то обхід вздовж кривої відбувається проти годинникової стрілки. Нормаль з віссю в кожній точці поверхні утворює гострий кут. Нехай – рівняння простої поверхні , і на цій поверхні задана неперервно диференційовна функція . Оскільки і координати контура задовольняють рівняння , то значення функції на контурі дорівнюють значенням функції на контурі – проекції на площину контура . Отже, (1). До правої частини рівності (1) застосуємо формулу Гріна: (2). За формулою диференціювання складної функції отримаємо: (3). Підставимо праву частину рівності (3) в формулу (2). Тоді (4). Врахувавши, що , перетворимо в рівності (4) подвійний інтеграл на поверхневий: ; . Для поверхні, заданої рівнянням , напрямні косинуси нормалі обчислюються за формулами: ; ; , де , , звідки ми отримуємо (6). Використавши (5), (6), з рівності (4) отримаємо (7). Аналогічно можна отримати формули: (8), (9), де , – неперервно диференційовні функції на поверхні , заданій рівнянням . За формулами (7), (8), (9)можемо записати: Цю формулу (10) називають формулою Стокса. Позначивши вектор , врахувавши означення циркуляції і потоку векторного поля, суть формули (10) можемо сформулювати в наступній теоремі. Теорема (Стокса). Циркуляція векторного поля по контуру дорівнює потоку (вихора) вектора через поверхню , натягнуту на контур , тобто (11) (формула Стокса у векторній формі). Також, врахувавши рівності , , , формулу (10) можна записати у вигляді: . Зауважимо, що з формули (12) отримаємо формулу Гріна, якщо за поверхню взяти плоску область на площині . Справді, поклавши , з формули (12) отримуємо .