Выбор нулевой гипотезы аналитическим способом

Для аналитического выбора нулевой гипотезы может быть использована следующая методика. По данным эксперимента определяются статистические оценки коэффициента асимметрии и коэффициента эксцесса :

; , (7.1.4)

где ;

; .

При большом объёме выборки оценки центральных моментов третьего и четвёртого порядков могут вычисляться по формулам, аналогичным (5.2.11) для дисперсии:

; . (7.1.5)

В теории распределений [12] доказано, что каждому закону свойственно определённое соотношение между коэффициентами асимметрии и эксцесса, т.е. может быть построена диаграмма, изображённая на рис.7.2.

Рис.7.2. Диаграмма соотношений между коэффициентами асимметрии и эксцесса

На представленной диаграмме выделены следующие характерные точки, прямые и области. Точки (0; –1,2), (0; 0), (0; 3), (4; 6) отвечают соответственно равномерному и нормальному распределениям, распределению Лапласа и показательному распределению. Так, для любого нормального закона = 0, = 0, что и определяет координаты точки (0; 0). Гамма-распределение, логарифмически нормальное распределение, распределение Стьюдента и Пуассона показаны на диаграмме прямыми, а бета-распределение представлено областью. При этом обозначения следующие: I – равномерный закон, II – нормальный закон; III – закон Лапласа; IV – бета-распределение; V – закон Стьюдента (прямая, совпадающая с осью ординат); VI – гамма-распределение; VII – закон Пуассона; VIII – показательный закон; IX – логарифмически нормальное распределение.

Знание оценок коэффициентов асимметрии и эксцесса позволяет приближённо определить гипотетический закон распределения. Для этого по полученным значениям оценок на диаграмму наносится точка (;). Если она окажется вблизи точки, прямой или области, соответствующих одному из распределений, то последнее и следует выдвинуть в качестве гипотезы.

При попадании точки в области диаграммы, для которых не определён закон распределения, выдвижение гипотетического закона должно осуществляться на основании каких-либо дополнительных априорных соображений.

П р и м е р 7.2. В условиях примера 7.1 выбрать нулевую гипотезу аналитическим способом.

▼ По формулам (7.1.5) вычисляем оценки центральных моментов третьего и четвёртого порядков:

;

.

По формулам (7.1.4) вычисляем оценки коэффициента асимметрии и коэффициента эксцесса:

;

.

Точку (; ) = (0,0001;–0,353) наносим на диаграмму, рис.7.2. Данная точка находится в непосредственной близости от точки (0; 0). Следовательно, принимается нулевая гипотеза о нормальном распределении отклонений по вертикали при стрельбе в мишень.

▲

Проверка гипотезы о виде закона распределения выполняется после решения предыдущей задачи, т.е. выбора теоретического распределения.