План погрешностей геодезических измерений.

Теория ошибок измерений

Виды ошибок.

Все используемые в геодезии величины получают из изме­рений или из вычислений функций измеренных величин. Срав­нение какой-либо величины с принятой единицей называют из­мерением, а полученное при этом численное значение - резуль­татом измерения. В процессе измерения участвуют объект изме­рения, измерительный прибор, оператор (наблюдатель) и среда, в которой выполняют измерения. Из-за несовершенства измери­тельных приборов, оператора, изменения среды и измеряемого объекта во времени результаты измерений содержат ошибки. Ошибки подразделяют на грубые, систематические и случайные.

Грубые ошибки возникают вследствие неисправности при­бора, небрежности наблюдателя или аномального влияния внешней среды. Контроль работ позволяет выявить и устранить грубые ошибки из результатов измерений.

Систематические ошибки являются результатом действия одного или группы факторов и могут быть выражены функцио­нальной зависимостью между факторами и результатом измере­ния. Необходимо найти эту функциональную зависимость и с ее помощью определить и исключить основную часть систематиче­ской ошибки из результата измерения, чтобы остаточная ошибка была пренебрегаемо малой.

Случайные ошибки неизвестны для конкретного результата измерения, зависят от точности прибора, квалификации операто­ра, неучтенного влияния внешней среды; их закономерность проявляется в массе. Случайные ошибки не могут быть устране­ны из результата конкретного измерения, их влияние можно только ослабить путем повышения количества и качества изме­рений и соответствующей математической обработкой результа­тов измерений. Случайные ошибки имеют следующие свойства:

1) по абсолютной величине они не превосходят определен­ного предела;

2) положительные и отрицательные их значения равновозможны;

3) малые по абсолютной величине случайные ошибки встречаются чаще, чем большие;

4) среднее арифметическое значение случайных ошибок при неограниченном увеличении числа измерений стремится к нулю (свойство компенсации случайных ошибок), т.е.

Эти свойства случайных ошибок возникают из принятых в тео­рии ошибок постулатов: 1) ошибки D_i. подчиняются нормальному закону распределения; 2) математическое ожидание (р_i - вероятность появления случайной ошибки D_i), что возможно при отсутствии систематических ошибок.

Если на оси абсцисс отло­жить величины случайных оши­бок D, а по оси ординат - их число (j(D) - плотность нор­мального распределения ошиб­ки), то получим кривую ошибок, или кривую Гаусса (рис. 43).

Уравнение кривой имеет вид:

где h=1/sÖ2- мера точности; s - среднее квадратнческое от­клонение. Если формула (21) получена по результатам измерений, то h=1/mÖ2, где m - средняя квадратическая ошибка. Принимая D/m = t, вместо (21) получим

. (22)

Пример. Построить кривую нормального распределения, если D = 0, m, 2m, Зm; m=1,00".

Решение. Подставляя в формулу (22) m = 1,00", получаем

у = 0,3989е^-t/2= 0,3989e^-D/2m.

Приведенным значениям D и m соответствуют:

Построенная по значениям D и у кривая (см.рис. 43) имеет следующие свойства:

лежит выше оси абсцисс, так как не имеет значений y£ 0;

симметрична относительно оси оу;

при D=0 величина у принимает максимальное значение;

имеет точки перегиба при D = ± m;

касательные к кривой в точках перегиба пересекаются с осью абсцисс в точках ±2m.

 

Критерии оценки точности измерений

Средняя квадратическая ошибка m - величина, опреде­ляемая по формуле Гаусса

(23)

где истинные ошибки D_i = х_i - X(i = 1,2,...,n);x_i -результат изме­рения величины, истинное значение которой равно X.

Средняя ошибка J - среднее арифметическое из абсолют­ных значений случайных ошибок, т.е.

Вероятная, или срединная, ошибка r находится в середине ряда, в котором все ошибки располагают по убыванию или воз­растанию их абсолютных значений.

Средняя квадратическая ошибка более предпочтительна, чем средняя и вероятная, так как на ее величину большое влияние оказывают большие по абсолютной величине ошибки и она бо­лее устойчива, т.е. довольно надежно определяется при неболь­шом n числе ошибок. Среднюю квадратическую ошибку самой средней квадратической ошибки определяют по формуле

. (25)

Предельное значение ошибки

. (26)

При ограниченном числе измерений на практике считают

(27)

Средняя квадратическая ошибка т связана со средней ошиб­кой J и вероятной ошибкой r приближенными формулами

. (28)

Все приведенные выше ошибки называют абсолютными. Кроме абсолютных имеются относительные ошибки f кото­рыми называют отношение абсолютной ошибки к среднему зна­чению измеряемой величины. Относительные ошибки выражают дробью, числитель которой равен единице, а знаменатель - от­ношению среднего значения измеряемой величины к абсолют­ной ошибке. В зависимости от используемой абсолютной ошиб­ки относительные ошибки называют: средней квадратической относительной, средней относительной, вероятной относитель­ной, предельной относительной.

Например, длина линии s = 285,00 м измерена со средней квадратической ошибкой m_s=0.15 м. Средняя квадратическая

Относительная ошибка. Знаменатель относительной ошибки целесообразно округлять с со­хранением двух первых значащих цифр.

Если ряд равноточных измерений одной и той же величины имеет случайные д. и систематические 8, ошибки, то суммар­ные ошибки будут равны

Возведя левые и правые части этого равенства в квадрат, по­сле суммирования и деления на 2 получим

При большом числе n измерений последнее слагаемое на ос­новании четвертого свойства случайных ошибок будет близким к нулю. С учетом этого

,

где m_D - средняя квадратическая случайная ошибка; m_d - сред­няя квадратическая систематическая ошибка.

Если m_d £ (1/3)m_D, то

Следовательно, систематическую ошибку, не превышаю­щую (1/3) m_D, можно не учитывать. При этом значение ту будет получено с искажением не более 5%. Если m_d£(l/5)m_D, то искажение m_s вследствие сокращения на величину m_d уменьшится до 2%.