Равноточные измерения

Неравноточные измерения.

Измерения, имеющие различные средние квадратические ошибки, называют неравноточными. При совместной обработке результатов неравноточных измерений их неодинаковую точ­ность учитывают с помощью весов. Весом р называют величину,

обратно пропорциональную квадрату средней квадратической ошибки

, (69)

где m=c=const - произвольная величина, постоянная для всех

измерений. Следовательно, чем точнее результат, тем меньше соответствующая ему средняя квадратическая ошибка и тем больше его вес. Веса являются относительными величинами, поэтому их можно одновременно уменьшать или увеличивать в различное число раз.

При р=1 по формуле (69) получим m=m, т.е. m - средняя квадратическая ошибка измерения, вес которого равен единице (средняя квадратическая ошибка единицы веса).

В практике геодезических работ в качестве веса принимают:

1) при обработке результатов угловых измерений одним и тем же прибором - величины, пропорциональные количеству измерений каждого угла; для суммы углов в ходе, имеющем n_i

вершин, р_i =1/n_i

2) при обработке линейных измерений одним и тем же мер­ным прибором p_i=1/s_i, где s_i,- длина линии;

3) при определении превышений из геометрического ниве­лирования - величины, обратно пропорциональные длине ходов или числу станций;

4) при тригонометрическом нивелировании p_i=1/s_i², где s_i,- расстояние между пунктами.

 

Веса функций измеренных величин.

Для определения обратного веса функции

учитывая формулы (47) и (69), для коррелированных аргументов после деления обеих частей выражения на m² получаем

(70)

Для некоррелированных аргументов (r_x= о) находим

Пример. Определить вес функции u = 3х₁, + 2х₂, если r_x=+0.5; Px₁=Px₂=1

Решение. По формуле (70) имеем

p =1/19 =0,053

Обработка результатов равноточных измерений одной величины.

Положим, что некоторая величина, истинное значение кото­рой равно X, измерена n раз; в результате измерений получены значенияx₁, x₂,…, x_n, свободные от систематических ошибок.

Случайные ошибки результатов измерений

Суммируя левые и правые части этих выражений, находим

откуда

Последнее слагаемое при большом числе n на основании четвертого свойства случайных ошибок стремится к нулю, по­этому

где х' - приближенное значение измеряемой величины; e_i - укло­нение x_i от x', т.е. e_i=x_i-x¢,i=1,2,...,n;n - число измерений.

Формула (56) показывает, что вероятнейшим, т.е. наиболее на­дежным, значением является среднее арифметическое х (ариф­метическая середина) из результатов равноточных измерений.

Для определения средней квадратической ошибки арифме­тической середины воспользуемся формулой (48). Для большей наглядности перепишем формулу (56) в виде выражения

Очевидно,

Для равноточных измерений m_x1=m_x2=...=m_xn=m_x. поэтому

(57)

Следовательно, точность среднего арифметического возрас­тает с увеличением числа измерений n , но при n=15-20 преобла­дающее влияние на величину М будут оказывать остаточные систематические ошибки, поэтому практически выполнять более 15-20 измерений нецелесообразно. Для существенного повыше­ния точности результатов измерений необходимо использовать более точные приборы, более совершенную методику измерений и т.п.

Для определения входящей в формулу (57) средней квадра­тической ошибки m_x одного измерения в формуле Гаусса(47) выразим [Δ²] через [n²], где n_i = х_i -x - отклонения изме­ренной величины от арифметической средины х. Подставляя в

D_i = x_i -Х вместо х, его значение х_i = x +n_i, находим

D_i = x – X - n_i

Возведя в квадрат левые и правые части, после суммирова­ния имеем

. (58)

Суммируя левые и правые части выражений

получаем

[v]-=[x]-nx

Подставляя вместо X его значение из (56), имеем

, и

т.е. сумма отклонений v равна нулю при любом числе измере­ний (первое свойство ошибок v). Если при определении средне­го арифметического х имеется ошибка округления

После деления левой и правой части равенства (58) на n по­лучаем

При большом числе n значение истинной ошибки арифме­тической средины можно принять равным значению М, опреде­ляемому по формуле (57), учитывая формулу Гаусса,

откуда находим формулу Бесселя

. (59)

Для контроля вычисления [v²] используют формулу

где v_i = x_i - x; x приближенное значение измеряемой вели­чины х.

Средние квадратические ошибки величин т и М определяют по формулам

. (60)