ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

 

Предварительно необходимо изучить теоретические основы работы №5. Экспериментальная установка (рис.17), называемая крутильным маятником, представляет собой платформу 1, подвешенную на тонком упругом стальном стержне 2 к горизонтальной раме 3. Платформа может совершать крутильные колебания относительно вертикальной оси, проходящей вдоль тонкого стержня 2. На платформе для крепления испытуемых тел имеется 8 пар отверстий 4, расположенных симметрично относительно оси вращения. Номера отверстий увеличиваются по мере удаления от оси вращения. В таблице 1 показаны расстояния отверстий до оси. Испытуемые тела имеют штыри, которые вставляются в отверстия. Таким образом тела закрепляются на платформе. Экспериментальная установка располагается на массивном основании 5.

Таблица 1

Номер отверстия
Расстояние d от оси вращения до центра отверстия, см

 

При повороте платформы 1 на угол j относительно вертикальной оси происходит закручивание стального стержня 2 на этот угол. В стержне возникают упругие силы, момент которых

действует на платформу. Коэффициент k называется коэффициентом упругости. Уравнение динамики вращательного движения

пустой платформы с моментом инерции I₀ относительно вертикальной оси принимает вид:

или . (1)

Уравнение (1) является уравнением гармонических колебаний с круговой частотой и периодом колебаний .

Итак, пустая платформа совершает гармонические крутильные колебания с периодом

(2)

 

Располагая на платформе на одинаковых расстояниях d_i от оси вращения два одинаковых грузика с массами m, получают момент инерции системы

,

где момент инерции I_i одного грузика определяется теоремой Штейнера (см. лаб. работу № 5):

. (3)

В формуле (3) I_с - момент инерции грузика относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс грузика. Тогда период крутильных колебаний равен

. (4)

Помещая эти же грузики на другом расстоянии d_j от оси вращения, получим формулы

,

где . (5)

В этом случае период колебаний T_j равен

. (6)

Возводя в квадрат формулы (2), (4), (6), получим систему уравнений:

, (7)

, (8)

. (9)

Вычитая уравнение (8) из уравнения (9), найдем уравнение

. (10)

Подставляя в уравнение (10) формулы (3) и (5), получим коэффициент упругости

. (11)

Подставляя формулу (11) в уравнение (7), найдем момент инерции I₀ пустой платформы:

, (12)

Вычитая уравнение (7) из уравнения (8) и подставляя в результат формулу (11), получим момент инерции I_i грузика, центр масс которого находится на расстоянии d_i от вертикальной оси:

. (13)

Период Т или время одного полного колебания экспериментально определяют, измеряя время t для n полных колебаний:

. (14)

Подставляя формулу (14) в формулы (12) и (13), найдем расчетные формулы для определения момента инерции I₀ пустой платформы

. (15)

и момента инерции I_i грузика

. (16)

Сравнивая формулы (15) и (16) можно величину I_i выразить через момент инерции I₀ пустой платформы:

. (17)

При вычислении момента инерции I₀ пустой платформы по формуле (15) полуширину доверительного интервала DI₀ находят с помощью формулы:

. (18)

Анализ формулы (18) показывает, что относительная погрешность уменьшается с увеличением величины . Поэтому для уменьшения погрешности измерения целесообразно величину выбирать минимальной (i = 1 или i = 2), а величину максимальной (j = 7 или j = 8).

 

 

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПЛАТФОРМЫ

 

1. Измерьте время t₀ десяти (n = 10) полных колебаний пустой платформы, наблюдая величину t₀ не менее 5 раз. Результаты наблюдений занесите в таблицу 2.

2. Поместите на платформу на минимальных расстояниях d_i от оси вращения (i = 1 или i = 2) два одинаковых грузика и измерьте время t_i. Наблюдайте величину t_i не менее 5 раз. Результаты наблюдений запишите в таблицу 2.

3. Расположите грузики на платформе на максимальных расстояниях от оси вращения (j = 8 или j = 7) и измерьте время t_j десяти полных колебаний платформы с грузиками. Наблюдайте величину не менее 5 раз. Результаты наблюдений запишите в таблицу 2.

4. Найдите средние значения величин , , , их выборочные оценки средних квадратичных отклонений S(<t>) и полуширину доверительных интервалов Dt. Результаты вычислений запишите в таблицу 2.

5. Подставляя средние значения в формулу (15), определите момент инерции I₀ пустой платформы. Учитывая, что см, по формуле (24) найдите относительную погрешность результата измерения. Полуширину доверительного интервала DI₀ определите по формуле:

.

Запишите результат измерения в виде доверительного интервала: .

Таблица 2

Результаты наблюдений	Номер наблюдения
Среднее значение <t>
Полуширина доверительного интервала Dt

 

 

Упражнение 2. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

 

6. Располагая на платформе два одинаковых тела (грузика) на равных расстояниях d_i (i = 1, 2, 3, … , n) от оси вращения, измерьте время t_i десяти полных колебаний нагруженной платформы для всех возможных расстояний d_i. Результаты измерений запишите в таблицу 3 (n - максимальный номер отверстия).

Таблица 3

Номер отверстия			…	n
Расстояние до оси di
Время 10 колебаний ti
Момент инерции Ii

 

7. Используя найденные в упражнении №1 численные значения времени 10 полных колебаний t₀ и момента инерции I₀ пустой платформы, по формуле (17) найдите моменты инерции I_i одного тела на разных расстояниях d_i от оси вращения. Результаты вычислений I_i запишите в таблицу 2.

8. Откладывая по осям координат и I_i , постройте на диаграмме (рис.18) экспериментальные точки. В соответствии с теоремой Штейнера

экспериментальные точки должны лежать на одной прямой, которая пересекает ось координат в точке I_с. I_с - момент инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела.

9. Определите с помощью графика, показанного на рис.18, величину I_с и полуширину доверительного интервала DI_с. Для этого через экспериментальные точки нужно провести прямую и найти точку пересечения этой прямой и оси координат. Применяя при проведении прямой метод наименьших квадратов [8], получим расчетные формулы для I_с и выборочной оценки среднего квадратичного отклонения S(I_с):

,

,

где , , .

Запишите результат измерения в виде доверительного интервала: .

10. Повторите пункты 6 - 9 для другой пары тел.

11. Измерьте размеры изучаемых тел и по формулам (4) и (5) лаб. работы 5 теоретически найдите моменты инерции I_с этих тел. Сравните теоретические результаты с экспериментальными.