ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

ГЛАВА III. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Лабораторная работа № 5

ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА ОБЕРБЕКА

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение характеристик вращательного движения твердого тела. Применение основного закона динамики вращательного движения для определения момента инерции тела.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

(1) аналогично второму закону Ньютона F = ma. В формуле (1) Мz - момент внешних… Момент силы характеризует вращательное действие силы. Различают момент силы относительно точки (центра) и момент силы…

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Экспериментальная установка показана на рис.16. Маятник Обербека состоит из четырех спиц, укрепленных на втулке под прямым… Так как начальная скорость груза равна нулю, то , где t - время движения груза. Тогда ускорение груза, направленное…

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

2. С помощью кнопки "СЕТЬ" включите экспериментальную установку. 3. Поместите на спицы маятника 4 грузика с массами m1 на одинаковом расстоянии… 4. В один слой намотайте нить на шкиве с большим диаметром D. Отпустите крестовину и измерьте время падения t1D груза…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Сформулируйте цель лабораторной работы.

2. Напишите основной закон динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси.

3. Дайте определение момента силы относительно точки (центра).

4. Дайте определение момента силы относительно оси.

5. Найдите момент силы относительно оси Z, если модуль момента этой силы относительно точки О, лежащей на оси, равен М₀ = 10 Нм, а направление момента образует с осью Z угол: 1) g = 30°; 2) g = 150°.

6. Модуль радиуса-вектора, проведенного из начала координат О в точку приложения силы, равен r = 30 см, а направление образует с направлением силы угол
a = 120°. Найдите плечо этой силы относительно начала координат О.

7. Определите момент силы относительно точки, если модуль силы равен
F = 10 Н, а плечо h = 2 см.

8. Дайте определение момента инерции тела относительно оси.

9. По какой формуле можно вычислить момент инерции относительно оси:
1) системы материальных точек; 2) произвольного тела ?

10. На каком расстоянии от оси находится материальная точка массой
m = 20 г, если ее момент инерции относительно этой оси равен I = 200 мг×м² ?

11. Моменты инерции относительно оси трех тел по отдельности равны
I₁ = 10 кг×м²; I₂ = 20 кг×м²; I₃ = 30 кг×м². Найдите момент инерции системы этих тел относительно той же оси.

12. Какую массу имеет прямой круглый однородный цилиндр с радиусом основания R = 10 см, если момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно боковой поверхности, равен
I = 0,25 кг×м² ?

13. Сформулируйте теорему Штейнера.

14. Момент инерции однородного шара радиусом R = 6 см относительно оси, проходящей через центр шара, равен I_с. На каком расстоянии от центра шара должна находится ось, чтобы момент инерции шара относительно ее оказался равным 2I_с ?

15. Определите угловое ускорение твердого тела, вращающегося
относительно неподвижной оси Z под действием момента силы
M_z = 12 мН×м, если момент инерции тела относительно этой оси I_z = 0,48 кг×м².

16. Нарисуйте эскиз маятника Обербека.

17. Как можно менять момент инерции маятника Обербека ?

18. Момент какой силы сообщает маятнику Обербека угловое ускорение ?

19. Почему момент силы тяжести крестовины равен нулю ?

20. Какие силы действуют на груз, подвешенный к маятнику Обербека ?

21. Как найти силу натяжения нити, на которой подвешен груз ?

22. Как определить ускорение груза, подвешенного к маятнику Обербека ?

23. Как найти угловое ускорение крестовины ?

24. Выведите формулу экспериментального определения момента инерции маятника Обербека.

25. Какие величины постоянны при выполнении эксперимента в данной лабораторной работе ?

26. Как применить теорему Штейнера для теоретической оценки момента инерции маятника Обербека ?

27. Как меняется угловое ускорение маятника Обербека при удалении грузиков крестовины от оси вращения ?

28. Меняется ли натяжение нити в зависимости от расстояния грузиков крестовины от оси вращения?

29. Как меняется угловое ускорение крестовины при изменении радиуса r ее шкива ?

30. Выведите формулу вычисления доверительного интервала DI при экспериментальном определении момента инерции I маятника Обербека.

 

Лабораторная работа № 6

 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Экспериментальное измерение моментов инерции твердых тел с помощью крутильных колебаний.

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Предварительно необходимо изучить теоретические основы работы №5. Экспериментальная установка (рис.17), называемая крутильным маятником,… Таблица 1 Номер отверстия …  

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Укажите цель данной лабораторной работы.

2. Мерой какой величины является момент инерции тела относительно оси ?

3. По какой формуле можно вычислить момент инерции относительно оси системы материальных точек ?

4. Как вычислить момент инерции произвольного тела относительно оси?

5. Сравните моменты инерции трех тел одинаковой формы и размеров, если одно тело изготовлено из алюминия, другое - из железа, а третье - из свинца.

6. На каком расстоянии от оси находится материальная точка массой m = 10 г, если ее момент инерции относительно этой оси равен I = 4×10^-4 кг-м² ?

7. Моменты инерции относительно оси О₁О₂ трех тел по отдельности равны I₁ = 5 кг×м²; I₂ = 3 кг×м²; I₃ = 2 кг×м². Найдите момент инерции системы указанных тел относительно той же оси О₁О₂ .

8. Какой радиус основания имеет прямой круглый однородный цилиндр массой
m = 6,25 кг, если момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс параллельно боковой поверхности, равен I =0,125 кг×м² ?

9. Какую массу имеет прямой круглый однородный цилиндр
высотой Н = 10 см и радиусом основания R = 5 см, если момент инерции цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс перпендикулярно боковой поверхности, равен I = 0,01 кг×м² ?

10. Сформулируйте теорему Штейнера.

11. Как найти момент инерции тела относительно оси, не проходящей через центр масс тела ?

12. Как момент инерции однородного шара относительно оси зависит от расстояния центра шара до этой оси ?

13. Два шара, изготовленные из одного металла, имеют одинаковую массу. Сравните моменты инерции шаров относительно оси, проходящей через их центры, если один из шаров имеет внутри полость.

14. Сравните моменты инерции двух однородных шаров одинаковой массы относительно оси, проходящей через центры шаров, если плотность шаров: 1) одинакова; 2) различается в 2 раза.

15. Нарисуйте эскиз экспериментальной установки.

16. Где помещают изучаемые тела ?

17. Какая часть экспериментальной установки совершает крутильные колебания ?

18. Для чего в платформе сделаны отверстия ?

19. Как найти расстояние от грузика до оси вращения ?

20. Как изменится период крутильных колебаний платформы, если ее момент инерции увеличится в 4 раза ?

21. Как период крутильных колебаний платформы зависит от коэффициента упругости стержня, на котором она подвешена ?

22. Выведите расчетную формулу для определения момента инерции I₀ пустой платформы.

23. Какая величина определяется в упражнении 1?

24. Какие измерения проводятся при выполнении упражнения 1 ?

25. Как находят полуширину доверительного интервала при определении момента инерции пустой платформы ?

26. Какой должна быть величина , чтобы относительная погрешность результата измерения в упражнении 1 была минимальной ?

27. Изменится ли период колебаний и момент инерции платформы, если платформу подвесить не на стальной стержень, а на медный ?

28. Что измеряют в упражнении 2 ?

29. Укажите расчетную формулу для определения момента инерции грузика, центр масс которого находится на расстоянии d_i от оси вращения крутильных колебаний.

30. Какова последовательность действий при выполнении упражнения №2 ?

 

Лабораторная работа №7

ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ ТРИФИЛЯРНОГО ПОДВЕСА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Измерение и использование метода крутильных колебаний на трифилярном подвесе для измерения моментов инерции твердых тел. Проверка теоремы Штейнера.

 

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Предварительно необходимо изучить теоретические основы работы №5.     Трифилярный подвес в положении равновесия… При крутильных колебаниях платформы П ее отклонение от положения равновесия характеризует угол j. Если силами…

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Измерьте расстояние R от точек крепления нитей с платформой П до центра платформы. Измерьте соответствующее расстояние r для шайбы С. Найдите… 2. Наблюдая гармонические крутильные колебания ненагруженной платформы П,… 3. Положите первое (сплошной диск) тело на платформу так, чтобы центр масс тела располагался над центром платформы.…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Сформулируйте цель лабораторной работы.

2. Дайте определение момента инерции тела относительно оси.

3. По какой формуле можно вычислить момент инерции тела относительно оси:
1) системы материальных точек; 2) произвольного тела ?

4. Найдите момент инерции относительно оси материальной точки массой
m = 0,5 кг, удаленной на расстояние R=2 м от этой оси.

5. Определите момент инерции относительно оси системы материальных точек с массами m₁ = 0,l кг; m₂ = 0,2 кг; m₃ = 0,3 кг; m₄ = 0,7 кг; m₅ = 0,8 кг; m₆ = 0,9 кг, если каждая точка удалена на расстояние R=0,5 м от этой оси.

6. Найдите момент инерции относительно оси платформы с лежащими на ней двумя дисками, если по отдельности их моменты инерции соответственно равны I₁ = 8 кг×м², I₂ = 0,75 кг×м², I₃ = 0,5 кг×м².

7. Определите момент инерции тонкого обруча массой m = 1 кг и радиусом
R=10 см относительно оси, направленной перпендикулярно плоскости обруча и проходящей через его центр.

8. Какую массу имеет круглый прямой цилиндр с радиусом основания
R = 5 см, если его момент инерции относительно оси, параллельной боковой поверхности и проходящей через центр цилиндра, равен I = 10^-4 кг×м² ?

9. Сформулируйте теорему Штейнера.

10. Моменты инерции тела относительно двух параллельных осей равны
I₁ = 2×10^-4 кг×м² и I₂ = 5×10^-4 кг×м². Найдите массу тела, если расстояние между осями
d = 10 см, а одна из них проходит через центр масс тела.

11. Определите момент инерции тонкого обруча радиусом R = 20 м и массой
m = 150 г, повешенного на горизонтальный гвоздь относительно оси, проходящей вдоль гвоздя.

12. Найдите момент инерции однородного шара массой m = 1 кг и радиусом
R = 3 см относительно оси, касательной к шару.

13. С каким ускорением вращается однородный шар массой m = 1 кг и радиусом
R = 3 см относительно оси, проходящей через его центр, под действием силы
F = 0,12 H, направленной перпендикулярно оси по касательной к шару ?

14. С какой угловой скоростью вращается тело, если его момент инерции относительно оси вращения равен I = 0,01 кг×м², а кинетическая энергия тела Ек = 20 мДж ?

15. Какова цель упражнения 1 данной лабораторной работы ?

16. Какая часть экспериментальной установки совершает крутильные колебания ?

17. Куда помещают тело, момент инерции которого нужно измерить ?

18. Как подвешена подвижная часть экспериментальной установки ?

19. Как меняется энергия платформы П при крутильных колебаниях на трифилярном подвесе ?

20. Какие измерения проводят при выполнении упражнения 1 ?

21. Укажите последовательность действий при измерении момента инерции тела с помощью крутильных колебаний на трифилярном подвесе.

22. По какой формуле вычисляют момент инерции пустой или нагруженной платформы ?

23. С каким периодом совершаются крутильные колебания, если они описываются уравнением ?

24. Момент инерции платформы с телом равен I = 2,3×10^-2 кг×м² , а момент инерции пустой платформы I₀ = 2×10^-2 кг×м². Найдите момент инерции тела.

25. Полуширина доверительного интервала момента инерции платформы с телом равна DI=1,5×10^-3 кг×м², а пустой платформы - DI₀ =10^-3 кг×м² . Чему равна полуширина доверительного интервала момента инерции одного тела ?

26. Какова цель упражнения 2 данной лабораторной работы ?

27. Укажите последовательность действий при проверке теоремы Штейнера с помощью крутильных колебаний.

28. По какой формуле в упражнении 2 определяют экспериментальное значение момента инерции испытуемого тела ?

29. По какой формуле в упражнении 2 вычисляют теоретическое значение момента инерции испытуемого тела?

30. Почему при выполнении упражнения 2 удобно использовать тело, разрезанное на две половинки ?

 

 

Лабораторная работа № 8

ОПРЕДЕЛЕНИЕ УСКОРЕНИЯ СВОБОДНОГО ПАДЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ УНИВЕРСАЛЬНОГО МАЯТНИКА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

 

Изучение законов, по которым происходит колебательное движение математического и физического маятников, и экспериментальное определение ускорения свободного падения.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Ускорение свободного падения (ускорение силы тяжести) - ускорение, которое приобретает свободная материальная точка под действием силы тяжести.… Для установления физического смысла вектора ускорения силы тяжести ()… Таким образом, при указанных условиях ускорение свободного падения равно (рис.21):

В каждой точке вектор определяется размерами, формой Земли и распределением вещества в ней. Вектор был бы точно направлен к центру Земли, если бы Земля была сферически - симметричной и вещество внутри нее было распределено равномерно. Направление отвеса (направление нити с грузом) определяется вектором , построенным на векторах и , т.е. различие между направлениями и для сферически - симметричной Земли обусловлено центробежной силой инерции, и направление к центру Земли не совпадает с направлением отвеса. Другой причиной различия направлений указанных векторов объясняется сплюснутость Земли вдоль оси суточного вращения (но это причина несущественно влияет на различие направлений и , ввиду малости сплюснутости и малой угловой скорости суточного вращения Земли). Сплюснутость Земли (и неравномерность распределения вещества) отражается на различии величины на полюсе и экваторе.

Если бы Земля была правильным шаром, то угол a между векторами и определялся бы формулой:

, (2)

где j - географическая широта местонахождения точки,

.

Следует отметить, что для реального земного шара формула (2) достаточно точна.

Проецируя векторы и на направление вектора и учитывая, что a << j и cosa » 1, получим формулу:

. (3)

Величина ускорения свободного падения |g| может быть найдена экспериментально, что является целью данной лабораторной работы.

По данным [2] ускорение на полюсе g_п = 983,2 см/c², на экваторе
g_э = 978,0 см/c² и по формуле (3) вычисляем значение g_абс. На полюсе
g_абс = g_п = 983,2 см/с² (cosa = cos90⁰ = 0) и на экваторе g_абс = 981,4 см/с² (с учетом, что период суточного вращения Земли - звездные сутки T₃ = 86164 c и
R₃ = 6,378×10⁶ м).

Считая, что Земля - правильный шар со сферически - симметричным распределением вещества в нем, можно показать, что ускорение свободного падения на Земной поверхности (на полюсе, где отсутствует центробежная сила, обусловленная суточным вращением Земли) определяется формулой:

,

,

отсюда , (4)

где G = 6,67×10^-11 (Н×м²)/кг² - гравитационная постоянная,

М_{3 =} 5,98×10²⁴ кг - масса Земли,

R₃ = 6,37×10⁶ - средний радиус Земли.

Можно показать, что ускорение силы тяжести на высоте h над Землей связано с ускорением g₀ следующим соотношением:

. (5)

При определении ускорения свободного падения на глубине h следует иметь в виду, что тело испытывает притяжение не всей массой Земли, а только слоев, лежащих глубже этого тела.

В настоящее время существует ряд прямых и косвенных методов измерений ускорения силы тяжести.

Один из способов прямого измерения ускорения силы тяжести по времени падения шарика с известной высоты описан в [10]. Этот способ отличается простотой и наглядностью, но весьма неточен из-за ошибок, причинами возникновения которых являются неодновременность включения электрического секундомера и выключение электромагнита, удерживающего шарик в исходном состоянии, задержка между моментом падения шарика на пластину и разрывом цепи секундомера, что приводит к погрешности измерения времени падения шарика.

Большинство косвенных методов измерения ускорения силы тяжести основано на применении формул периода колебаний математического и физического маятников.

Прежде чем перейти к рассмотрению методики указанных способов измерения ускорения g, следует напомнить некоторые физические величины и законы (теоремы), которые будут полезны при выполнении данной лабораторной работы (для более детальной проработки нижеследующего материала можно воспользоваться литературными источниками [2,3] и др.).

Важнейшие законы механики связаны с понятием момента силы (и момента импульса). Следует различать моменты этих векторов относительно неподвижного центра (точки) и относительно неподвижной оси. В данной лабораторной работе рассматривается только момент силы, поэтому целесообразно напомнить эту величину.

Момент силы относительно центра (точки) есть вектор. Момент силы относительно оси - это проекция на эту ось его момента относительно точки, лежащей на этой оси, т.е. момент силы относительно оси уже не является вектором.

Итак, момент силы относительно центра О равен векторному произведению радиуса - вектора на силу : . (6)

Вектор направлен перпендикулярно плоскости векторов и и образует с ними правовинтовую систему (рис.22).

Момент зависит от выбора центра О (или начала, или полюса). Точка А - точка приложения силы . Модуль вектора момента силы относительно полюса О можно определить произведением модуля силы на плечо. Плечо (L) - длина перпендикуляра, опущенного из точки О на линию действия силы.

Действительно, , (7)

где - плечо силы F. Момент силы относительно некоторой оси (Z) - это проекция на ось вектора , взятого относительно какой - либо точки О на оси (рис.23).

. (8)

Следует отметить, что момент силы относительно оси не зависит от выбора точки О, лишь бы она находилась на этой оси. Момент силы относительно оси - величина алгебраическая, причем его знак зависит как от выбора положительного направления Z, так и от направления вращения соответствующего момента силы.

Для вращательного движения существенное значение имеет распределение массы по объему твердого тела, и инертные свойства твердого тела при вращательном движении определяются моментом инерции.

Момент инерции твердого тела относительно оси равен сумме произведений элементарных масс тела на квадраты их расстояний до оси вращения, т.е.

. (9)

Вычисление момента инерции тела производится по формуле:

, (10)

где dm и dv - элементарные массы и объем, находящиеся на расстоянии r от

оси вращения,

- плотность тела в данной точке.

Но во многих случаях определение момента инерции значительно упрощается, если воспользоваться теоремой Штейнера: момент инерции I относительно произвольной оси равен моменту инерции I_c относительно оси, параллельно данной и проходящей через центр масс (С) тела, плюс произведение массы (m) тела на квадрат расстояния (d) между осями:

. (11)

В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси уравнение динамики вращательного движения имеет вид (при условии, что момент инерции I_z=const)

, (12)

т.е. произведение момента инерции (I_z) твердого тела относительно неподвижной оси вращения на угловое ускорение (e) равно моменту внешних сил относительно этой же оси.

Угловое ускорение равно:

. (13)

Рассмотрим один важный случай движения твердого тела вокруг закрепленной оси, когда момент внешних сил обусловлен действием силы тяжести.

Физическим маятником называется твердое тело, которое совершает колебание около неподвижной точки (т.О, рис.24), не совпадающей с центром масс маятника (т.С). Положение тела в каждый момент времени можно характеризовать углом отклонения j из положения равновесия .

Момент (М) силы тяжести относительно оси вращения, проходящей через точку О, равен

, (14)

где d - расстояние от оси вращения до центра масс.

Вектор проходит через т.О и направлен перпендикулярно плоскости чертежа от нас (согласно правилу правого винта).

Вектор угла поворота j твердого тела имеет направление, противоположное направлению вектора (рис.24). Поэтому уравнение динамики вращательного движения (12) с учетом (13) в данном случае имеет вид :

, (15)

где I₀ - момент инерции твердого тела относительно оси вращения, проходящей через точку О.

Учитывая, что и при малых углах отклонения , уравнение вращательного движения маятника (15) принимает вид:

или . (16)

Выражение (16) является дифференциальным уравнением гармонического колебания маятника, круговая частота которого равна:

. (17)

Учитывая, что период* гармонических колебаний связан с круговой частотой соотношением

,

получим выражение для периода малых колебаний физического маятника

. (18)

Частным случаем физического маятника является математический маятник - это небольшое тело, подвешенное на невесомой, нерастяжимой и столь длинной нити, что размерами тела можно пренебречь по сравнению с длиной нити (масса маятника практически сосредоточена в одной точке).

Применяя уравнение моментов (12) (уравнение динамики вращательного движения) к задаче о движении математического маятника и осуществив преобразования, как и в случае физического маятника, получим формулу периода колебаний математического маятника

, (19)

где L - длина нити.

Из сравнения формул (18) и (19) следует, что физический маятник колеблется так же, как математический маятник с длиной нити

, (20)

которая называется приведенной длиной физического маятника.

Отложим от точки подвеса О (рис.24) вдоль прямой ОС отрезок ОО₁, длина которого равна приведенной длине физического маятника L_пр. Точка О₁ называется центром качаний данного физического маятника.

Центр качаний можно определить как материальную точку, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы период его колебаний остался без изменений.

Приведенная длина L_пр всегда больше d, т.е. центр качаний всегда лежит ниже центра масс C (рис.24). Действительно, по теореме Штейнера момент инерции относительно оси маятника равен

,

где Ic - момент инерции маятника относительно параллельной оси, проходящей через центр масс С.

Подставив последнее выражение в (20), получим:

. (21)

Следует отметить, что точка подвеса и центр качаний находятся по разные стороны от центра масс и расположены асимметрично относительно него.* Точка подвеса и центр качаний являются обратимыми (взаимными, сопряженными) точками физического маятника. Если перенести точку подвеса физического маятника в центр качаний, то прежняя точка подвеса окажется новым центром качаний. Это положение, называемое также теоремой Штейнера, доказывается следующим образом:

Пусть d₁=CO₁ (рис.24) и маятник подвешен за точку О₁. При этом (по аналогии с(21))приведенная длина маятника становится равной

,

где или с учетом (21) .

Отсюда следует, что и .

Итак, приведенная длина, следовательно, и период колебаний физического маятника остались без изменения. На этом свойстве основано устройство оборотного маятника, применяемого для определения ускорения силы тяжести.

Если использовать соотношение (18) для определения ускорения свободного падения , то с высокой точностью можно измерить только период колебаний Т маятника, а величины I₀ и d, входящие в формулу (18), достаточно точно измерить не удается. Преимуществом метода оборотного маятника для определения ускорения свободного падения является то, что величины момента инерции I₀ и расстояния d между точкой подвеса и центром масс можно исключить при экспериментальном определении величины g. Формула (18) с учетом (20) и (21) принимает вид:

. (22)

Как указывалось выше, при расстояниях d и d₁ периоды колебаний маятника должны быть равными, т.е.

T(d) = T(d₁).

Согласно (22), для выполнения последнего равенства необходимо, чтобы

Условие (23) выполняется либо при d=d1 (это частный случай, см. сноску на стр.69), либо при . (24) Период колебаний (22) оборотного маятника с учетом (24) принимает вид:

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

    В основании 1 установки (рис.25), которое расположено на регулируемых ножках, укреплены стойка 2 и миллисекундомер 3.… Нижний кронштейн 14, несущий фотоэлектрический датчик 15, имеет возможность… На лицевой панели миллисекундомера 3 размещены табло “ПЕРИОДЫ” и “ВРЕМЯ,С” , а также кнопка “СЕТЬ” (включение сети),…

СРАВНЕНИЕ ПЕРИОДОВ КОЛЕБАНИЙ ФИЗИЧЕСКОГО И МАТЕМАТИЧЕСКОГО МАЯТНИКОВ

1. Нижний кронштейн 14 (рис.25) с фотоэлектрическим датчиком установите в нижней части стойки 2, чтобы указатель положения кронштейна фиксировал… 2. Поверните верхний кронштейн 4 так, чтобы над нижним кронштейном 14… 3. Вращая ручку 8 катушки, установите высоту шарика таким образом, чтобы черта на шарике была продолжением черты на…

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Выведите формулу ускорения свободного падения на поверхности Земли, зная массу Земли, ее радиус и гравитационную постоянную.

2. Как изменится ускорение свободного падения на высоте h = R₃ над поверхностью Земли?

3. По какой формуле можно оценить ускорение свободного падения в шахте глубиной 200 м?

4. Что такое математический маятник?

5. Дайте определение физического маятника.

6. Что такое период колебаний, и какова его единица измерения?

7. Что характеризует момент инерции твердого тела (относительно оси)?

8. Какова формула момента инерции твердого тела (относительно оси)?

9.Дайте определение теоремы Штейнера.

10. Определите величину и направление момента силы F относительно неподвижного центра (точки О).

11. Дайте определение физического маятника. Каковы свойства центра качаниий оборотного маятника.

12. Выведите формулу периода колебаний физического маятника.

13. Что такое приведенная длина физического маятника?

14. Что такое центр масс системы материальных точек или твердого тела?

15. Определите положение центра масс (т.С) относительно выбранного начала отсчета (т.О), если m₁ = 2кг, m₂ = 3кг, L = 1м (расстояние между m₁ и m₂).

16. Кратко сформулируйте порядок выполнения лабораторной работы с оборотным физическим маятником.

17. Как влияет на точность эксперимента увеличение угла отклонения маятника от положения равновесия?

18. Почему необходимо производить измерения на двух призмах?

19. Какие Вы знаете виды измерений?

20. Назовите типы погрешностей измерений.

21. Как вычисляется абсолютная погрешность прямых измерений?

22. По какой методике оценивается погрешность косвенных измерений?

23. Объясните, что такое доверительный интервал?

24. Что такое коэффициент надежности ?

25. Каковы виды систематических ошибок?

26. Как суммируются случайные и систематические ошибки?

27. Зачем вычисляется относительная ошибка?

28. Какова окончательная запись результата измерений?

29. Каковы правила округления?

30.Какова точность значений постоянных?

 

 

Лабораторная работа № 9

ИЗУЧЕНИЕ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ МАЯТНИКА МАКСВЕЛЛА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

 

Экспериментальная проверка основного закона динамики вращательного движения. Определение момента инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс тела.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Маятник Максвелла представляет собой (рис.29) диск 6, закрепленный на оси 7, подвешенный на бифилярном подвесе. Движение маятника (диска) Максвелла описывается следующей системой уравнений,… , (1)

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

На вертикальной стойке крепятся два кронштейна: верхний (2) и нижний (3).   На верхнем кронштейне (2) (рис.29) находится электромагнит (10), фотоэлектрический датчик и намоточный винт (4) для…

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Запишите в таблицу 1 массу mc и диаметр dc стержня; массу диска mgи массу кольца mк. 2. Установите подвижный кронштейн в нижней части стойки. 3. Наденьте кольцо массой mk на диск до упора. Запишите m1=mg+mc+mk в таблицу 1.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Опишите установку и порядок выполнения измерений.

2. Изобразите все силы, действующие на маятник.

3. Дайте определение момента инерции материальной точки. Какова его единица измерений?

4. Какова размерность момента инерции?

5. Дайте определение момента инерции сплошного тела в общем виде.

6. Выведите формулу момента инерции диска.

7. Сформулируйте физический смысл момента инерции. Какова его размерность?

8. Сформулируйте уравнение моментов.

9. Дайте определение момента силы. Какова его единица измерений?

10. Определите величину и направление момента силы F относительно неподвижного центра (точки О).

11. Дайте определение момента импульса. Какова его единица измерений?

12. Изобразите все силы и моменты сил, действующих на маятник.

13. Что такое центр масс системы материальных точек ?

14. Что понимается под абсолютно твердым телом ?

15. В каких системах выполняется закон сохранения полной механической энергии? Дайте определение этому виду систем.

16. Дайте определение консервативных и неконсервативных сил. Приведите примеры этих сил.

17. Сформулируйте закон сохранения полной механической энергии.

18. Выполняется ли в данной работе закон сохранения полной механической энергии? Сформулируйте его для данной установки, если он выполняется.

19. Как определяется кинетическая энергия вращательного движения?

20. Как определяется кинетическая энергия маятника Максвелла?

21. Сформулируйте систему уравнений, описывающих движение маятника в данной работе.

22. Опишите порядок выполнения измерений.

23. Как вычисляется абсолютная погрешность прямых измерений?

24. Как вычисляется абсолютная погрешность косвенных измерений в данной работе?

25. Какие виды погрешностей вы знаете?

26. В каком виде записывают результат измерений и расчетов? Что означает эта запись?

27. Как определяется приборная ошибка цифровых приборов. Чему равна приборная ошибка миллисекундомера в данной работе?

28. Чему равна абсолютная ошибка момента инерции в данной работе?

29. Какие параметры движения маятника Максвелла изменяются при изменении массы диска?

30. В работе погрешности измерений рассчитываются путем сравнения экспериментального и теоретического значений моментов инерций маятника Максвелла. Выведите формулы расчета погрешностей с использованием только экспериментальных данных. Сравните погрешности при расчете обоими способами.

 

Лабораторная работа № 10

 

Определение момента инерции маховика

Цель работы

Экспериментальное определение момента инерции системы*, состоящей из массивного маховика, двух шкивов, насаженных на общий вал. Теоретические основы работы  

Описание экспериментальной установки

На рис. 31 схематически показана лабораторная установка, с помощью которой исследуются закономерности поступательного и вращательного движения тел,… Маховик 1 насажен на вал 2, который закреплен в шарикоподшипниках 3, 4, что… На один из шкивов наматывается невесомая и нерастяжимая нить, к свободному концу которой прикрепляется груз 7 массой…

Порядок выполнения работы

1. Штангенциркулем измерьте не менее 5 раз диаметр (d) большего шкива 5 (рис.31) и результаты измерений занесите в табл.1. В этой же таблице… Таблица 1 h = ; Dh = 2мм; n1 = N d, мм …  

Контрольные вопросы

 

1. Сформулируйте цель данной лабораторной работы.

2. Какое тело называется абсолютно твердым ?

3. Какое движение называется поступательным ?

4. Назовите меру инертности тела при поступательном движении.

5. Назовите меру инертности тела при его вращательном движении относительно неподвижной оси.

6. Напишите формулу момента инерции системы материальных точек
относительно оси.

7. По какой формуле удобно вычислять момент инерции однородного тела
(цилиндра, шара и т.д.) относительно оси симметрии этого тела ?

8. Оцените момент инерции относительно оси системы из трех тел, если по
отдельности моменты инерции тел относительно этой оси равны I₁, I₂, I₃.

9. Укажите единицу измерения момента инерции в СИ.

10. Дайте определение момента силы относительно точки (центра).

11. Какую величину называют плечом силы ?

12. Дайте определение момента силы относительно оси.

13. Какую величину называют моментом импульса ?

14. Сформулируйте закон сохранения механической энергии.

15. Укажите различия между консервативными и диссипативными силами.

16. Назовите причину изменения полной механической энергии.

17. Выполняется ли закон сохранения механической энергии при движении
маховика ?

18. Напишите формулу изменения полной механической энергии для данной
экспериментальной установки.

19. Дайте определение работы постоянной силы.

20. В каком случае работа силы отрицательна ?

21. Как оценивается работа силы трения для данной экспериментальной
установки, если маховик совершит n оборотов ?

22. Напишите формулу кинетической энергии вращающегося тела.

23. В какие виды энергии переходит потенциальная энергия поднятого груза ?

24. Выведите расчетную формулу.

25. Перечислите величины, измеряемые в данной работе с помощью прямых
измерений.

26. Перечислите виды погрешностей измерений.

27. Назовите виды измерений физических величин.

28. Как вычисляются абсолютные и относительные ошибки при прямых
измерениях ?

29. Что такое доверительный интервал ?

30. Напишите формулу для вычисления относительной погрешности момента инерции маховика .

 

Лабораторная работа №11

ИЗУЧЕНИЕ ГИРОСКОПА

И ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСКОПА

ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Изучение динамики вращательного движения, закона сохранения момента импульса на примере вращения гироскопа. Ознакомление с гироскопическим эффектом и определение угловой скорости прецессии гироскопа.

 

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ РАБОТЫ

Гироскопические приборы и системы применяются в различных областях техники: в авиации и на морских судах; в горнорудной и нефтяной промышленности… В частности, успехи в области авиационной и ракетной техники стали возможными… С помощью гироскопических приборов и систем решаются как задачи по управлению, ориентации, автономной навигации…

ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

На оси электродвигателя установлен массивный маховик 6. Равновесие системы обеспечивает стержень 7 с делениями, укреплённый на статоре двигателя, и… Моделью гироскопа является ротор 5 асинхронного электродвигателя, частота… Гироскоп может поворачиваться в опорной вилке 9 вокруг горизонтальной оси, условно показанной на рис.33, и…

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

 

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ УГЛОВОЙ СКОРОСТИ ПРЕЦЕССИИ ГИРОСКОПА

 

1. Произведите установку гироскопа по уровню на основании 1 (рис.33) при помощи регулируемых опор.

2. Установите и закрепите винтом контргруз (8) в таком положении, чтобы система находилась в безразличном равновесии, при котором ось гироскопа должна быть в горизонтальном положении.

3. Перед включением установки регулятор частоты вращения (рис. 34) поверните против часовой стрелки до упора.

4. Включите установку нажатием кнопки «СЕТЬ», при этом следует убедиться в том, что включены лампочки 12 и 13 (рис.33) обоих фотоэлектрических датчиков и также индикаторы времени и угла поворота (рис.34).

5. Включите питание двигателя и, плавно вращая регулятор частоты (рис.34), установите частоту вращения электрического двигателя на
8000 об/мин.

6. Убедитесь в том, что при равновесии системы в ней отсутствует прецессия и выключите двигатель.

7. Для создания момента силы тяжести сместите контргруз 8 по стержню 7 вправо от положения равновесия на = - 2 см и зафиксируйте его винтом.

8. Запустите двигатель и нажатием клавиши «СБРОС» (рис.34) обнулите табло индикатора времени.

9. После поворота вертикальной оси 10 (рис.33) гироскопа на угол 20° нажмите клавишу «СТОП» (рис. 34), после чего индикатор времени (рис.34) остановится на угле 30°, зафиксированном индикатором поворота (рис.34).

10. Запишите показания индикатора времени для угла 30° и = - 2 см. в табл. 1.

11. Повторите п.п. 7 - 10 для поворота вертикальной оси гироскопа на угол 40° и занесите результаты измерений в табл. 1.

12. Регулятором «ЧАСТОТА» (рис.34) на передней панели электронного секундомера установите частоту вращения двигателя на 9000 об/мин. И повторите п.п. 7 - 11 данного упражнения.

 

Таблица 1

Частота n, об/мин
- 2
	30°
40°
	30°
40°

 

13. Повторите п.п. 7 - 12, смещая контргруз (8) по стержню (7) на расстояния = 2, 3 и 4 см от положения равновесия, и занесите результаты измерений в табл. 1.

14. Вычислите угловую скорость прецессии оси гироскопа для каждого измерения и результаты вычислений занесите в табл. 1.

15. Рассчитайте абсолютную и относительную ошибки измерения угловой скорости прецессии.

Упражнение 2. Изучение прецессионного движения

 

Следует теоретически обосновать на основании законов динамики твердого тела постоянство отношения смещения () контргруза от положения равновесия к угловой скорости прецессии () гироскопа.

.

Пусть положение контргруза таково, что система находится в равновесии, т.е. ось гироскопа занимает горизонтальное положение.

Условие равновесия должно быть представлено в виде:

т.е. , (7)

где - масса электродвигателя с маховиком;

- масса контргруза;

- плечи сил тяжести m₁g и m₂g соответственно.

Если передвинуть контргруз на расстояние (рис.36), то равновесие нарушится и центр масс системы сместится в точку , находящуюся от точки С на расстоянии .

При этом результирующий момент сил и относительно точки опоры С становится равным

(8)

где - плечо суммарной силы тяжести системы;

- угол наклона оси гироскопа.

Вектор приложен к точке С и направлен перпендикулярно плоскости чертежа.

За время dt момент импульса гироскопа () получит приращение , равное, с одной стороны,

(9)

а с другой, см. рис.36

. (10)

Из (9) и (10) следует, что время поворота оси гироскопа равно:

(11)

С учетом (4) получим, что угловая скорость прецессии равна:

(12)

где - собственный момент импульса гироскопа.

При смещении контргруза () вправо на условие равновесия (уравнение моментов относительно нового центра масс ) принимает вид:

(13)

где - расстояние контргруза до точки опоры С.

Из (13) определяется смещение центра масс системы, т.е.

.

И с учетом условия (7) имеем:

. (14)

Подставляя (14) в (12), получим:

. (15)

Итак, при условиях, что и если угловая скорость , то при различных положениях контргруза должно выполняться условие:

т.е. . (16)

Таблица 2

Частота n, об/мин
- 2
		30°
40°
		30°
40°

При выполнении упражнения 2 заполните табл. 2, используя данные
табл. 1 и рассчитайте отношения для соответствующих значений угловой скорости прецессии () и смещений контргруза ().

Рассчитайте абсолютную и относительную ошибки экспериментального определения отношения .

 

 

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

 

1. Чему равен момент силы относительно неподвижного центра О ? Определите направление момента силы ?

2. Как определить момент силы относительно неподвижной оси ?

3. Запишите условие равновесия тела относительно точки опоры вращения при действии на тело нескольких сил ?

4. Дайте определение момента инерции твердого тела.

5. Сформулируйте теорему Штейнера.

6. Используя теорему Штейнера, вычислите момент инерции однородного стержня массой m и длиной относительно оси, проходящей через конец стержня.

7. Чему равен момент импульса материальной точки m относительно неподвижного центра О ? Определите направление момента импульса ().

8. Чему равен момент импульса материальной точки относительно неподвижной оси ?

9. Как определяется момент импульса твёрдого тела относительно неподвижной оси вращения ?

10. Сформулируйте второй закон динамики для вращательного движения.

11. Сформулируйте закон сохранения момента импульса твёрдого тела.

12. Какая ось вращения твёрдого тела называется свободной и какова особенность этой оси ?

13. Что называется гироскопом ? Назовите области применения гироскопических систем.

14. Дайте определение прецессии гироскопа и её основных свойств.

15. Как изменится угловая скорость прецессии с увеличением угловой скорости вращения гироскопа ?

16. Опишите устройство экспериментальной установки.

17. Поясните работу электронного секундомера установки.

18. Объясните, почему необходимо устанавливать лабораторную установку гироскопа по уровню ?

19. Поясните, почему при определении угловой скорости прецессии гироскопа необходимо предварительно обеспечить безразличное равновесие системы ?

20. Каков порядок выполнения упражнения 1 по определению угловой скорости прецессии гироскопа ?

21. Выведите расчётную формулу угловой скорости прецессии гироскопа.

22. На основании выполнения каких законов доказывается постоянство отношения ?

23. Каков порядок выполнения упражнения 2, т.е. экспериментального доказательства постоянства отношения смещения () контргруза и угловой скорости прецессии () гироскопа ?

24. Назовите виды погрешности при измерении физической величины.

25. Опишите методику обработки результатов прямых измерений.

26. Какова методика обработки косвенных измерений ?

27. Объясните, для чего следует вычислять относительную ошибку измерений ?

28. Каков должен быть вид окончательной записи результатов измерений ?

29. Как определяется абсолютная и относительная ошибка измерения угловой скорости прецессии гироскопа ?

30. Объясните, что такое доверительный интервал, коэффициент надёжности ?

 

ПРИЛОЖЕНИЕ

 

Таблица коэффициентов Стьюдента t_p(n)

 

P n	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95	0,98	0,99
	1,000	1,376	1,96	3,08	6,31	12,7	31,8	63,7
	0,816	1,061	1,39	1,89	2,92	4,30	6,97	9,93
	0,765	0,978	1,25	1,64	2,35	3,18	4,54	5,84
	0,741	0,941	1,19	1,53	2,13	2,78	3,75	4,60
	0,727	0,920	1,16	1,48	2,02	2,57	3,37	4,03
	0,718	0,906	1,13	1,44	1,94	2,45	3,14	3,70
	0,711	0,896	1,12	1,42	1,70	2,37	3,00	3,50
	0,706	0,889	1,11	1,40	1,86	2,31	2,90	3,36
	0,703	0,883	1,1	1,38	1,84	2,26	2,82	3,25
	0,700	0,879	1,09	1,37	1,81	2,23	2,76	3,17
	0,697	0,876	1,09	1,36	1,80	2,20	2,72	3,11
	0,695	0,873	1,08	1,36	1,78	2,18	2,68	3,06
	0,694	0,870	1,08	1,35	1,77	2,16	2,65	3,01
	0,692	0,868	1,08	1,35	1,76	2,15	2,62	2,98
	0,691	0,866	1,07	1,34	1,75	2,13	2,60	2,95
	0,690	0,865	1,07	1,34	1,75	2,12	2,58	2,92
	0,689	0,863	1,07	1,33	1,74	2,11	2,57	2,90
	0,688	0,862	1,07	1,33	1,73	2,10	2,55	2,88
	0,688	0,861	1,07	1,33	1,73	2,09	2,54	2,86
	0,687	0,860	1,06	1,33	1,73	2,09	2,53	2,85
¥	0,674	0,842	1,04	1,28	1,64	1,96	2,33	2,58

 

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Физический энциклопедический словарь. М.: Советская энциклопедия, 1984. 2. Савельев И.В. Курс общей физики. Механика. М.: ООО "Издательство… 3. Сивухин Д.В. Механика. М.: Наука. 1989.

ОГЛАВЛЕНИЕ

 

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
ГЛАВА 1. ОСНОВЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА . . . .4

Измерения и погрешности измерений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4
Случайные погрешности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
Систематические погрешности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
Промахи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Прямые измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
Косвенные измерения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9
Совместные измерения. Метод наименьших квадратов . . . . . . . . . . . . 9

ГЛАВА 2. МЕХАНИКА МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ . . . . . . . . . . . . . .11

1. Исследование прямолинейного движения тел на машине Атвуда . . . . 11

2. Изучение абсолютно неупругого удара на модели копра . . . . . . . . . 17

3. Изучение упругого удара твердых тел . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4. Определение коэффициента трения качения методом наклонного

маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

ГЛАВА 3. МЕХАНИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5. Изучение вращательного движения с помощью маятника Обербека . . 41

6. Определение моментов инерции твердых тел с помощью крутильных

колебаний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

7. Измерение моментов инерции твердых тел с помощью трифилярного

подвеса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

8. Определение ускорения свободного падения с помощью универ-

сального маятника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

9. Изучение вращательного движения с помощью маятника Максвелла . . 78

10. Определение момента инерции маховика . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

11. Изучение гироскопа и определение угловой скорости прецессии

гироскопа . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

Приложение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .104

Библиографический список . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

 

 

УДК 531

ББК 22.2

А 39

 

 

Рецензенты:

 

 

Акиньшин В.С., Груздев Ю.В., Рыльская М.В.

Физический практикум. Механика: Учебное пособие.- М.: "МАТИ" - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2003.- 106с.: ил.

 

 

В учебном пособии собраны руководства к лабораторным работам цикла "Механика" физического практикума "МАТИ" - Российского государственного технологического университета
им. К.Э. Циолковского.

Учебное пособие предназначено для работы в физическом практикуме студентов всех специальностей.

 

 

УДК 531

ББК 22.2

 

 

Ó "МАТИ" - Роосийский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского, 2003.

 

 

[1] Под внешней силой понимают равнодействующую сил гравитационного притяжения Солнца, Луны и других небесных сил; силу сопротивления воздуха, силы трения, натяжения нити и т.д.

^** Кориолисова сила возникает только тогда, когда система отсчета вращается, а материальная точка движется относительно этой системы; причем эта сила зависит от скорости точки в этой системе отсчета. Если указанная скорость равна нулю, то кориолисова сила также становится равной нулю [2].

* Период - это время одного полного колебания; в системе СИ период измеряется в секундах, т.е [T]=[1c]

* Можно показать, что точка подвеса и центр качаний будут расположены симметрично относительно центра масс, если приведенная длина физического маятника равна

 

 

* Если число p взять с точностью до четырех значащих цифр, т.е. считать p=3,142, то погрешностью Dp можно пренебречь (Dp=0) по сравнению с другими слагаемыми выражениями (29). Принимаем, что инструментальная погрешность при нанесении насечек не превышает 5мм, т.е. DL_пр=5мм.

* Следует отметить, что момент импульса прецессирующего волчка L относительно точки О (рис.32) равен где - момент импульса волчка, обусловленный его вращением вокруг собственной оси; - добавочный момент импульса, возникающий вследствие прецессии волчка вокруг вертикальной оси Z.

При , , поэтому результирующий момент импульса практически равен