Вопросы, знание которых обязательно для допуска к выполнению работы

1. Угловая скорость. Связь между угловой скоростью тела и ли­нейной скоростью его точек. Единицы измерения.

2. Угловое ускорение. Связь между угловым ускорением и линейным ускорением его точек. Единицы измерения.

3. Что называется моментом силы? Чем обусловлены его величина и направление? Единицы измерения.

4. Что называется моментом инерции твердого тела? Единицы изме­рения.

5. Основной закон динамики вращательного движения.

6. Что называется модулем кручения подвеса?

7. В чем отличие крутильных колебаний от колебаний физического маятника?

8. Под действием какой силы совершаются крутильные колебания в данной работе?

9. Какой принцип положен в основу вычисления момента инер­ции твердого тела в данной работе?

10. Расскажите порядок выполнения работы.

 

ВВЕДЕНИЕ

При рассмотрении вращения твердого тела с динамической точ­ки зрения понятие о силах заменяется понятием о моментах сил М, понятие о массе - понятием о моменте инерции J. Рассмот­рим движение материальной точки массой m по окружности радиу­са r (рис. 1). Материальная точка движется под действием силы , направленной по касательной к окружности. Эта сила сооб­щает точке тангенциальное ускорение, и второй закон Ньютона принимает вид

. (1)

Поскольку угловое ускорение связано с линейным соотноше­нием a_t = b×r, то (1) принимает вид

F = m×r×b. (2)

Умножим обе части уравнения на r, получим

F×r = m×r²×b. (3)

Величина F×r = M называется мо­ментом силы и численно равна про­изведению силы на плечо силы - длину перпенди­куляра, опущенного из центра вра­щения на линию действия силы. Момент силы - величина векторная, его направление определяется правилом правого винта.

Скалярная величина, численно равная произведе­нию массы материальной точки на квадрат расстояния от ее центра вращения J = m×r², называется моментом инерции точки. Таким образом, урав­нение (3) запишется в виде

(4)

и носит название основного закона динамики вращательного движения. Из (4) видно, что и совпадают по направлению.

Момент инерции твердого тела относительно оси вращения можно вычислить, разбив его на бесконечно большое число очень ма­лых элементов Dm_i, которые можно рассматривать как материаль­ные точки. Тогда выражение для момента инерции элемента массы Dm_i, находящегося на расстоянии r_i от оси вращения, будет DJ_i = Dm_i×r_i² (рис.2), а момент инерции всего тела:

(5)

или

Момент инерции тела любой фор­мы относительно оси, проходя­щей через центр масс, можно найти опытным путем, исходя из за­кона колебаний крутильного маятника, если имеется другое тело, момент инерции которого относительно оси, проходящей через центр масс, известен. Момент инерции тела можно определить, измеряя период крутильных колебаний этого тела. Для этого исследуемое тело подвешивают к концу подвеса, другой конец которого зажат в штативе. Если к телу приложить пару сил в горизонтальной плоскости, то тело повернется на угол φ. Возникающие при этом силы упругости подвеса будут стремиться вернуть тело в исходное положение. Если затем систему предоставить самой себе, то она будет совершать гармонические колебания (крутильные колебания), период которых определяется моментом инерции системы и модулем кручения подвеса.

Момент сил упругости пропорционален φ - угловому смещению и направлен в сторону, противоположную смещению, то есть:

M = – C×φ, (4)

где C - модуль кручения подвеса.

По второму закону Ньютона для вращательного движения имеем:

J·β = - C·φ, (5)

поскольку

β = , (6)

то

= - . (7)

 

Полагая, что

= ω², (8)

 

получим уравнение гармонического колебательного движения, круговая частота которого ω.

Учитывая, что

ω² = ,

из соотношения (8) можно найти период колебаний крутильного маятника

. (9)

Для упругого подвеса С - величина постоянная, численно равная моменту силы, вызывающему закручивание подвеса на еди­ничный угол. Момент инерции тела можно определить двумя спосо­бами:

1. Измеряют периоды крутильных колебаний двух тел, подве­шенных на один и тот же подвес, момент инерции одного из которых известен, а второго - нужно определить.

2. Измеряют период колебаний тела, момент инерции которо­го известен, а затем на это тело помещают другое с искомым мо­ментом инерции и определяют период колебаний системы.

 

Порядок выполнения работы

1. Определение момента инерции бруска (1 способ).

а) На подвес, закрепленный в штативе, подвесить брусок так, чтобы подвес совпал с геометрической осью бруска. Повер­нуть брусок на некоторый угол и отпустить. Определить время 15-20 колебаний, а затем вычислить период колебаний бруска Т_б. Опыт повторить 5 раз.

б) Затем на подвес подвесить кольцо. Определить время 15-20 колебаний и вычислить период колебаний кольца Т_к.. Опыт повторить 5 раз.

в) По формуле , где m - масса, R₁ и R₂ - внешний и внутренний радиусы кольца, вычислить J_к (предварительно необходимо измерить не менее 5 раз R₁ и R₂ и взвесить кольцо). Если толщина кольца мала по сравнению с ради­усом, то J_к = mR², где R = (R₁+R₂)/2.

г) Учитывая, что и , на­ходим, что J_б =J_кТ_б²/Т_к². Подставляя в последнее выражение Т_б, T_к и J_к, вычислить J_б.

д) Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 1 и вычислить абсолютную и относительную погрешности измерений.

Таблица 1

№ п/п

nб

tб, с

Тб, с

DТб, с

nк

tк, c

Tк, c

Rк1, м

DRк1, м

Rк2,м

DRк2, м

m, кг

Средн. знач-е

е) Сравнить экспериментально полученное значение J_б с рас­четным, учитывая, что J_б = m_б(a² +b²)/12 (a и b - длина и тол­щина бруска, определенные по 5 измерениям. Сравнение удобно провести в виде.

2. Определение момента инерции кольца (2 способ).

а) На упругом подвесе, закрепленном в штативе, подвесить прямоугольный брусок со сторонами a, b, c так, чтобы нить была перпендикулярна длине бруска. Затем, определяя время 15-20 полных крутильных колебаний, найти период колебаний Т_б. Опыт повторить 5 раз.

б) После этого на брусок поместить кольцо и определить период колебаний Т_б+к, системы кольцо-брусок. Опыт повторить 5 раз.

в) Момент инерции системы равен сумме моментов инерции бруска и кольца в отдельности: J_б+к =J_б + J_к. Отсюда

J_к = J_б+к - J_б (10)

согласно (9)

; .

Откуда

. (11)

Из формул (10) и (11) получаем:

или

Момент инерции бруска вычисляют по формуле J_б = m_б(a² + b²)/12 по средним значениям из 5 измерениям.

г) Полученные опытным путем результаты сравните с теоре­тическими, зная, что момент инерции кольца можно рассчитать по 5 измерениям. Сравнение удобно провести в виде .

д) Результаты измерений и вычислений занести в таблицу 2 и вычислить абсолютную и относительную погрешности измерений.

Таблица 2

№ п/п

nб

tб, с

Тб, с

DТб, с

nб+к,

tб+к, c

Тб+к, с

mб, кг

a, м

Da, м

b, м

Db, м

Среднее значение

Рекомендуемая литература

1. Савельев И.В. Курс общей физики. T. I. - М.: Наука, 1989.

2. Архангельский М.М. Курс физики: механика. - М.: Просвещение, 1975. C. 169-193.

3. Ливенцев Н.М. Курс физики.- М.: Высшая школа, 1974. §11-13.

4. Ремизов А.Н. Курс физики для медицинских институтов. - М.: Высшая школа, 1976. Гл. 3.