Реферат Курсовая Конспект
Неперервність функції в точці. - раздел Образование, Властивості функцій, неперервних в точці. Означення.нехай Функція ...
|
Означення.Нехай функція визначена на деякій множині а в точціїї значення відповідно . Функція називається неперервною в точці , якщо границя цієї функції при дорівнює значенню функції в цій точці. Тобто . Зауважімо, що при обчисленні границі в точці , функція обов'язково повинна бути в цій точці визначена. Для неперервної функції в точці необхідно, щоб функція в цій точці існувала. В означенні неперервності функції точка належить області визначення функції і є внутрішньою точкою, тобто розгладяється двостороння границя функції. При дослідженні неперервності можуть бути випадки, коли функція неперервна у даній точці зліва або справа.
Означення.Якщо існує границя
або
,
то функцію називають неперервною в точці справа та зліва відповідно. Якщо ці умови не виконуються, то функція має розрив в точці справа або зліва.
Отже, якщо функція неперервна в точці , то вона неперервна в цій точці справа та зліва, тобто
Приклад. Довести, що функція неперервна в точці . Знайдемо значення функції в точці , .
Обчислимо
.
Таким чином, границя функції в точці , дорівнює значенню функції у цій точці, отже, функція неперервна в точці .
Приклад. Довести, що функція
неперервна в точці .
За умовою функція ; (добуток нескінченно малої на обмежену), отже, і функція в точці - неперервна.
Приклад. Довести, що функція
у точці – розривна.
Обчислимо односторонні границі:
,
тобто границя зліва не дорівнює границі справа і в даній точці границі не існує і функція в точці – розривна.
Розглянемо ще одне визначення неперервності функції в точці. Введемо такі поняття: приростом аргументу при переході від значення до називають різницю , а відповідну зміну значення функції – приростом функції в точці .
Нехай функція визначена в точці і неперервна в ній. Тоді
,
а
.
Звідси можемо надати таке означення неперервності в точці
Означення. Якщо функція неперервна в точці , то нескінченно малому приросту аргументу відповідає нескінченно малий приріст функції, тобто при , .
Виконується і обернене стверждення, якщо , то функція неперервна. Дійсно
,
або
,
тобто функція – неперервна. Функція неперервна на множині , якщо вона неперервна у кожній точці цієї множини.
Приклад. Довести, що функція – неперервна на множині .
Для будь-якої точки , знайдемо
Тоді:
,
тобто функція неперервна в довільній точці .
Приклад. Довести, що функція – неперервна для будь-якого . Визначимо:
.
Тоді,
і неперервність доведено (– нескінченно мала, обмежений одиницею).
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Неперервність функції в точці... Класифікація розривів функції в точці Дослідження на неперервність...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Неперервність функції в точці.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов