Властивості функцій, неперервних на замкненому проміжку

Означення. Функцію називають неперервною на інтервалі , якщо вона неперервна в кожній точці цього інтервалу.

Означення. Функція називається неперервною на сегменті , якщо вона неперервна на інтервалі і неперервна справа в точці і зліва в точці .

Означення. Якщо функція визначена на множині і існує таке значення , що для усіх виконується умова , то число називається найбільшим , (найменьшим ) значенням функції на множині .

Теорема 4. Якщо функція неперервна на сегменті , , то вона на цьому сегменті досягає свого найбільшого та найменшого значень. Тобто для будь-яких виконується умова(рис.8.5)

Рис. 8.5.

Якщо функцію задано на інтервалі або , то вона такими властивостями може і не задовольняти. Наприклад, , ні найменшого а ні найбільшого значення функція не має. Функція на сегменті має найменьше значення ; найбільше , тобто на кінцях сегменту.

Функція на сегменті не має найбільшого значення, тому що в точці вона не визначена. Функція на сегменті досягає найменшого значення в точці , і найбільшого значення в точці .

Теорема 5. Якщо функція визначена та неперервна на сегменті і на його кінцях приймає значення різних знаків, то між і існує хоча б одна точка , в якій функція дорівнює нулю.

Теорема 6. Якщо функція неперервна на сегменті і її найменьше і найбільше значення відповідно і , а число , тоді на сегменті знайдеться хоча б одна точка така, що .

Геометричну інтерпретацію теорем 4 – 6 дивись на рис. 8.5