Треугольники

11.10.Угол при вершине равнобедренного треугольника на 60˚ больше угла при основании. Найдите угол при основании треугольника.

11.11.В равнобедренном треугольнике угол, смежный с углом при вершине треугольника, равен 70˚. Найдите угол при основании треугольника.

11.12.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26 см, а его катеты относятся, как 5:12. Найдите больший катет треугольника.

11.13.Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза больше другого катета на 8 см.Найдите площадь треугольника.

11.14.Найдите площадь равнобедренного треугольника по его гипотенузе, равной .

11.15.Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8. Найдите длину медианы, проведенной к гипотенузе.

11.16.В прямоугольном треугольнике медиана, опущенная из вершины прямого угла, равна одному из катетов. Найдите меньший угол треугольника.

11.17.В прямоугольном треугольнике острые углы относятся, как 1:2. Больший катет равен . Найдите радиус описанной окружности.

11.18.В прямоугольном треугольнике АВС . Около треугольника описана окружность с центром в точке О. Найдите величину .

11.19.Диаметр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен 10, а один из катетов равен 6. Найдите другой катет.

11.20.Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны соответственно 10 и 26. Найдите радиус вписанной окружности.

11.21.В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а косинус одного угла равен 0,8. Найдите больший катет.

11.22.В прямоугольном треугольнике тангенс одного угла равен 0,6, а меньший катет равен 3. Найдите больший катет.

11.23 .В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 3 см, а котангенс прилежащего угла – 0, 75. Найдите гипотенузу.

11.24.Из вершины прямого угла А прямоугольного треугольника к гипотенузе проведены медиана АМ и высота АК. Найдите длину отрезка МК, если катеты равны 6 и .

11.25.Катеты прямоугольного треугольника относятся, как 1:3. Найдите высоту треугольника, опущенную из вершины прямого угла, если гипотенуза равна 40.

11.26.Из одной точки проведены перпендикуляр и две наклонные длиной 10 см и 17 см к данной прямой. Проекции наклонных относятся, как 2:5. Найдите длину перпендикуляра.

11.27.В прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите периметр квадрата.

11.28.В прямоугольный треугольник с углом 60˚ вписан ромб так, что угол в 60˚ у них общий, остальные три вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите длину общего катета, если длина стороны ромба равна .

11.29.В равнобедренный прямоугольный треунольник вписан квадрат таким образом, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другте – на катетах. Сторона квадрата равна 3. Найдите длину гипотенузы.

11.30.В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан прямоугольник таким образом, что он имеет с треугольником общий прямой угол. Периметр этого прямоугольника равен 25 см. Найдите катет треугольника.

11.30.В равнобедренный прямоугольный треугольник вписан ромб так, что один острый угол у них общий и все четыре вершины ромба лежат на сторонах треугольника. Найдите стороны ромба, если длина катета равна .

11.31.Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 10, а проекция меньшего катета на гипотенузу – 3,6. Найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

11.32.В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания окружности и гипотенузы делит ее на отрезки 3 и 10. Найдите больший катет.

11.33.Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найдите больший катет треугольника.

11.34.Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла. Найдите радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе, а длины катетов равны 3 и .

11.35.Найдите радиус круга, описанного около равностороннего треугольника со стороной .

11.36.Площадь правильного треугольника равна . Найдите длину его биссектрисы.

11.37.В равностороннем треугольнике высота равна 9. Найдите радиус вписанной в треугольник окружности.

11.38.Радиус окружности равен 10. Найдите длину медианы вписанного в нее правильного треугольника.

11.39.Около равностороннего треугольника описана окружность радиуса , через центр которой проведена прямая, параллельная одной из сторон треугольника. Найдите длину отрезка прямой, заключенного между двумя другими сторонами треугольника.

11.40.В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 5, а косинус угла при основании – 0,6. Найдите радиус вписанного круга.

11.41.В треугольнике АВС известно, что угол А равен 45˚ и котангенс угла В равен 0,25. Найдите сторону АВ, если площадь треугольника равна 10.

11.42.Серединный перпендикуляр к боковой стороне АВ равнобедренного треугольника АВС пересекает сторону АС в ее середине О. Найдите расстояние ОВ, если длина АС равна 20 см.

11.43.Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, боковая сторона которого равна , а угол при вершине 60˚.

11.44.Периметр равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) равен 110, а отрезок, соединяющий середины боковых сторон, равен 15. Найти длину боковой стороны.

11.45.Угол при вершине равнобедренного треугольника АВС (АВ=ВС) равен , а его площадь равна 360. Найти длину боковой стороны треугольника (sin=0,8).

Ответ: .

11.46.В равнобедренный треугольник вписана окружность радиуса . Угол при основании 60˚. Найдите основание.

11.46.Основание равнобедренного треугольника в 3 раза меньше его боковой стороны, а его периметр равен 14 см. Найдите основание треугольника.

11.47.В равнобедренном треугольнике основание равно , угол при вершине 120˚. Определите проекцию высоты, проведенной к основанию, на боковую сторону.

11.48.Найдите высоту, опущенную на боковую сторону равнобедренного треугольника, если высота, проведенная к основанию, равна и угол при вершине В равен 120˚.

Ответ: .

11.49.В равнобедренном треугольнике углы при основании 30˚, а высота, опущенная на это основание, равна 3. Найдите радиус описанной окружности треугольника.(6)

Ответ: .

11.50.Найдите радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 и высотой 4.

11.51.Биссектриса внешнего угла равнобедренного треугольника АВС при основании АС образует с основанием угол 126˚. Найдите величину угла АВС.

11.52.Внутри треугольника АВС проведена к стороне ВС прямая AD так, что угол CAD равен углу ACD. Периметры треугольников ABC и ABD 18 см и 11 см соответственно. Найдите длину AC.

11.53.Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен 5, сторона АВ равна 5, высота ВН равна 4. Найдите длину стороны ВС.

11.54.В треугольник вписан ромб, угол которого совпадает с углом треугольника. Стороны треугольника, заключающие этот угол, равны 12 и 18. Найдите сторону ромба.

11.55.В треугольнике дана сторона и противолежащий ей угол 30˚, а также вторая сторона . Найдите третью сторону.

11.56.В треугольнике известны две стороны, 6 см и 9 см соответственно, и угол между ними 30˚. Найдите площадь этого треугольника.

11.57.В треугольнике АВС величина угла при вершине С равна π/6. Найдите синус угла В, если АС=12,3 и АВ=61,5.

11.58.В треугольнике АВС углы В и С равны соответственно π/3 и π/4. Найдите длину стороны АС, если АВ= .

11.59.В треугольнике АВС проведена медиана АК, равная и составляющая со стороной АС угол 30˚. Найдите ВС, если угол ВСА равен 45˚.

11.60.В треугольнике АВС даны три стороны . Найдите медиану .

11.61.Найдите меньшую высоту треугольника со сторонами 13, 14, 15.