Раздел 11. Планиметрия

11.4.В каждом из смежных углов АОС и СОВ проведены внутренние углы соответственно ОМ и ОР так, что . Найдите величины углов MOA и POB, если величина угла MOA в четыре раза больше величины угла POB.

11.5.Углы САВ и ВАD смежные. Найдите величину угла между перпендикуляром, проведенным из точки А к прямой СD, и биссектрисой угла САВ, если .

11.6.При пересечении двух прямых образовалось четыре угла. Найдите их величины, если:

а) сумма двух углов равна 100˚; б) разность двух углов равна 20˚; в) сумма трех углов равна 300˚.

Ответ:

11.7.Один из двух внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей на 60˚ меньше другого. Найдите больший из этих углов.

11.8.Один из двух внутренних углов при параллельных прямых и секущей в 17 раз больше другого. Найдите меньший из этих углов.

Треугольники

Четырехугольники

Окружность, круг Хорды, дуги

Правильные n-угольники Многоугольники и окружность

Уравнение окружности. Расстояние между точками

Задачи на построение

Дополнительные задачи (из билетов вступительных экзаменов)

Г.

1. В прямоугольном треугольнике один из острых углов равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего катета равна 18. Найти больший катет.

2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12, а гипотенуза больше другого катета на 8. Найти гипотенузу.

3. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 26, а его катеты относятся как 5:12. Найти больший катет треугольника.

4. Длина окружности 4%. Найти площадь квадрата, вписанного в эту окружность.

5. Найти площадь круга, если сторона правильного треугольника, вписанного в этот круг, равна.

6. Сторона ромба равна, а одна из диагоналей равна 4. Найти площадь ромба.

7. Площадь ромба равна 24, а одна из диагоналей равна 6. Найти длину стороны ромба.

Г.

8. Сторона ромба равна 5, а диагональ - 6. Найти площадь ромба.

9. Высота ромба равна 12, а меньшая из диагоналей - 15. Найти площадь ромба.

10. Найти радиус окружности, описанной около правильного шестиугольника, площадь которого равна .

11. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 6, высота, проведенная к основанию, равна 4. Найти радиус описанной окружности.

12. Гипотенуза прямоугольного треугольника в 3 раза больше меньшего из катетов. Найти медиану, проведенную к гипотенузе, если больший катет равен .

13. К большему катету прямоугольного треугольника проведена медиана длины 5, длины катетов относятся как 6:16. Найти длину меньшего катета.

14. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 12, а противоволежаший угол равен . Найдите биссектрису этого угла.

15. Сумма трех сторон прямоугольника равна 12. Найти наименьшее значение длины его диагонали.

16. Диагональ прямоугольника равна , углы между диагоналями относятся как 1:2. Найдите большую сторону.

17. Прямоугольный участок нужно огородить с трех сторон забором. Длина забора равна 60. Найти наибольшее значение его площади.

18. Одна из боковых сторон прямоугольной трапеции вдвое больше другой. Найдите тупой угол трапеции.

19. Длины двух окружностей с общим центром равны 8 и 6. Найдите ширину кольца, образованного этими окружностями.

20. Катет прямоугольного треугольника равен 4, а медиана треугольника, проведенная к гипотенузе, равна 2,5. Найти периметр треугольника.

21. В треугольнике ABC сторона ВС = 2>/б, прилежащие к ней углы В = 30°, С = 45°. Найти биссектрису угла В.

22. В треугольнике ABC угол В равен 105°, угол С равен 15°. Найти высоту треугольника, опущенную из вершины В, если длина стороны AB равна .

23. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна. Найти гипотенузу, если один из катетов равен 6.

24. Сторона правильного вписанного в окружность треугольника равна. Найдите сторону квадрата, вписанного в эту окружность.

25. Площадь прямоугольного треугольника равна 24, а один из катетов равен 6. Найдите медиану, проведенную к гипотенузе.

Г.

26. Сколько сторон имеет правильный многоугольник, каждый из внутренних углов которого равен 135°?

27. На сколько измениться длина окружности, если радиус увеличить на 1 м?

28. Вписанная в прямоугольный треугольник окружность касается его гипотенузы в точке, делящей гипотенузу на отрезки, длины которых равны 2 и 3 соответственно. Найти радиус окружности.

29. Площади двух подобных треугольников равны 64 и 25. Основание первого из них равно 4. Найти высоту второго треугольника.

30. Дан квадрат со стороной 10. Во сколько раз площадь круга, описанного около квадрата, больше площади круга, вписанного в квадрат?

31. Две дуги разных окружностей имеют одинаковую длину. Найти отношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей окружности, если одна дуга содержит 25°, а другая -45°.

32. В прямоугольном треугольнике один из углов равен 60°, а биссектриса этого угла равна 4. Определить длину большего катета.

33. Катеты прямоугольного треугольника равны 4 и 3. Найти высоту, опущенную на гипотенузу.

Г.

34. Из одной точки к окружности проведены две касательные, которые образуют угол в 60°. Отрезок, соединяющий точки касания, равен 3. Найти площадь фигуры, ограниченной этими касательными и большей дугой окружности, заключенной между точками касания.

35. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 6, а площадь равна 5. Найти острый угол трапеции.

36. В трапеции меньшая диагональ перпендикулярна основаниям. Сумма острых углов равна 90°. Основания трапеции равны 4 и 5. Определить боковые стороны.

37. Высота равностороннего треугольника равна 2. Найти периметр треугольника.

38. Две окружности касаются внешне в точке В, AC- их общая внешняя касательная. Найти периметр треугольника ABC, если AC =10, ВС = 6.

39. Две окружности касаются внешне в точке С, радиус одной из них равен 14. Найти радиус второй окружности, если расстояние от точки С до их общей касательной равно 8.

40. В круговой сектор с центральным углом 60° вписан круг. Найти площадь части сектора, не содержащей точек круга, если радиус сектора равен 6.

41. Вокруг трех окружностей радиуса 6, попарно касающихся друг друга, описана окружность. Найти отношение длин большей и меньшей окружностей.

42. Две окружности радиуса 4 и окружность радиуса 2 внешне касаются друг друга. Найти площадь треугольника, вершинами которого являются точки касания данных окружностей.

43. В равносторонний треугольник вписаны три одинаковых круга, касающихся друг друга. Найти площадь круга, если сторона треугольника равна 4.

44. В круговой сектор с центральным углом 120° вписан круг. Найти площадь
круга, если радиус сектора равен 6.

Г.

45. Угол треугольника равен 60°, а противоположная сторона -. Длины других сторон относятся как 1:3. Найти большую сторону треугольника.

46. Определить площадь трапеции, если площади треугольников, образованных пересечением диагоналей и прилегающих к основаниям трапеции, равны 16 и 9.

47. По окружности длиной 60 м равномерно и в одном направлении движутся две точки. Одна из них делает полный оборот на 5 сек. быстрее другой. При этом совпадения точек происходят каждый раз через одну минуту. Определить скорости точек (в м/сек.).

48. Основание равнобедренного треугольника равно 60, а высота, проведенная к основанию, равна 40. Найти высоту, проведенную к боковой стороне.

49. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины С прямого угла проведена высота CD. Радиусы окружностей, вписанных в треугольник АСО и BCD, равны соответственно 3 и 4. Найти радиус окружности, вписанной в треугольник АВС.

50. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 1:3. Найти площадь треугольника, если гипотенуза равна 6.

51. Периметр ромба равен 8 см, сумма диагоналей 5 см. Найти площадь ромба.

52. Длины двух окружностей с общим центром равны 8л и 6л. Найти площадь кольца.

53. Найти площадь прямоугольного треугольника, если известно, что радиус вписанной в треугольник окружности равен 2, а описанной равен 12.

54. Длина окружности равна 4л. Найти площадь квадрата, вписанного в эту окружность.

55. В окружности пересекающиеся хорды AB и CD перпендикулярны и AB= 3, CD = 4. Найти диаметр окружности.

56. Диаметр окружности равен 42. Параллельно диаметру проведена хорда, стягивающая дугу в 120°. Определить расстояние от центра окружности до хорды.

57. Вписанная окружность касается гипотенузы прямоугольного треугольника в точке, делящей гипотенузу на отрезки, длины которых равны 2 и 3. Найти радиус этой окружности.

Г.

58. Найти площадь круга, ограниченного окружностью длиной 6л.

59. Длины оснований трапеции равны а и b (a > b). Точки M и N лежат на боковых сторонах так, что прямая MN параллельна основаниям и делит трапецию на две равновеликие части. Найти длину отрезка MN.

60. Найти длину окружности, ограничивающей круг площадью 25л.

61. Диагонали трапеции АВСД (АД//ВС) пересекаются в точке О, а площади треугольников АОД и ВОС равны т² и (т>п). Найти площадь трапеции.

62. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна 36 см². Найти длину его гипотенузы.

63. В прямоугольный треугольник, периметр которого равен 36 см, вписана окружность, точка касания с которой делит гипотенузу в отношении 2:3. Найти длину гипотенузы.

64. Площадь прямоугольного треугольника равна 150 см², один из катетов равен 15 см. Найти длину гипотенузы.

65. В прямоугольный треугольник вписана окружность, точка касания с которой делит один из катетов на отрезки 6 и 10 см. Найти площадь треугольника.

66. Один из внутренних углов треугольника равен 60°, а два других относятся как 2:3. Найти больший угол.

67. Сторона ромба равна 10 см, а большая диагональ равна 16 см. К окружности, вписанной в ромб, проведена касательная, параллельная его меньшей диагонали. Найти длину отрезка касательной, заключенного между сторонами ромба.

68. Один из острых углов прямоугольного треугольника вдвое больше другого. Найти меньший угол.

69. К окружности, вписанной в равнобедренный треугольник с основанием 8 см и боковой стороной 6см, проведена касательная, параллельная основанию. Найти длину отрезка касательной, заключенного между сторонами треугольника.

70. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 25 см, а высота, проведённая к его основанию, равна 20 см. Найти периметр треугольника.

71. Сторона правильного шестиугольника равна 2 см. Найти длину его меньшей диагонали.

71. Основание равнобедренного треугольника равно 30 см, а высота, проведенная к основанию, равна 20 см. Найти длину боковой стороны треугольника.

72. Медианы, проведенные из вершин острых углов прямоугольного треугольника, равны см и см. Найти длину гипотенузы.

Г.

73. Стороны одного четырехугольника равны 14 см, 21 см, 28 см и 35 см. Сумма длин наибольшей и наименьшей сторон подобного ему четырехугольника равна 56 см. Найдите длину меньшей стороны второго четырехугольника.

74. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D так, что AD: DB --2:1. Ha стороне ВС выбрана точка К так, что CK : KB = ЗА. Прямые AK и CD пересекаются в точке M . Найдите отношение AM : MK.

75. Стороны одного пятиугольника равны 20 см, 8 см, 16 см, 12 см и 24 см. Меньшая сторона подобного ему пятиугольника равна 10 см. Найдите большую сторону второго пятиугольника.

95. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка P так, что AP : PB= 2:1. На стороне ВС выбрана точка M так, что CM:MB = 3:1. Прямые AM и CP пересекаются в точке К . Найдите отношение CK :КР

76. Площадь квадрата равна 12 см⁷. Найдите диагональ этого квадрата.

77. Биссектриса острого угла BAD пересекает продолжение стороны ВС параллелограмма ABCD в точке M. Диагональ BD и прямая AM пересекаются в точке К. Найдите отношение площадей треугольника BKM и параллелограмма ABCD, если AB:.AD = 2:1.

78. Найдите площадь квадрата, диагональ которого равна 12 см.

79. Биссектриса острого угла BAD пересекает сторону ВС параллелограмма ABCD в точке M. Диагональ BD и прямая AM пересекаются в точке К. Найти отношение площадей треугольника BKM и параллелограмма ABCD, если AB : AD =1:3.

80. В параллелограмме ABCD высота BK, проведенная к стороне AD, равна 3 см, угол BAD равен 30°. Найдите периметр параллелограмма, если его площадь равна 24 см².

81. В параллелограмме ABCD угол между высотой BK, проведенной к стороне AD, и

диагональю BD равен 60°. Найдите площадь параллелограмма, если AD -- 15 см, BD -- 12 см.

82. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = ВС) проведена биссектриса AD. Площадь треугольника ABD равна , площадь треугольника ADC равна . Найдите периметр

треугольника ABC

83. В треугольнике ABC угол ВАС =60°, AB=6 см, AC=- 4 см. Найдите биссектрису AD.

84. Периметр равнобедренного треугольника равен 57 см. Найдите среднюю линию треугольника, параллельную основанию, если боковая сторона равна 16 см.

85. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = ВС) медиана AD перпендикулярна

биссектрисе CE. Найдите косинус угла ACD.

86. Найдите сумму катетов прямоугольного треугольника, если расстояния от середины гипотенузы до катетов равны 26 см и 33 см.

87. Найдите площадь треугольника ABC, если AB = 3 см, AC = 7 см, а медиана AD = 4 см.