Схема Бернулли
Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях ровно k раз наступит успех, равна
,
где p – вероятность успеха в отдельном испытании, q=1-p – вероятность неудачи.
Наиболее вероятное число успехов. Число успехов k=m0, при котором вероятность Pn(k) становится максимальной, называется наиболее вероятным числом успехов, т.е. . Число m0 определяется следующим образом: и если (n+1)p является целым числом, то наиболее вероятным числом также будет и m0-1.
Ожидаемая частота успеха., где случайная величина - число успехов в схеме Бернулли.
Пример 1.Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,6. Произведено 8 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.
Решение.Будет считать, что каждый бросок представляетсобой независимое испытание с двумя исходами. Под успехом будем понимать попадание мячом в корзину. Таким образом, в качестве модели можно использовать схему Бернулли с n=8 и р=0,6. Вычислим (n+l)p=(8+1)x0.6=5,4. Следовательно, наивероятнейшее число успехов mn=5. Согласно формуле Бернулли, имеем .
Пример 2. Монета подкидывается 10 раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет, по крайней мере, три раза.
Решение. Будем считать, что монета симметричная, т.е. р=1/2. Нам необходимо вычислить P10(3,10) = P10(3)+ P10(4)+ ...+Р10(10). Заметим, что вероятность противоположного события, состоящего в том, что "герб" выпадет не больше двух раз, Р10(0,2) = Р10(0)+Р10(1)+Р10(2), требует меньших вычислений. Проведя соответствующие вычисления, получим, что , и следовательно,
Локальная формула Муавра-Лапласа. При больших n имеет место приближенное равенство
, где , - кривая Гаусса (таблица 2).
Интегральная теорема Муавра-Лапласа.При больших n имеет место приближенное равенство
, где , , - функция Лапласа.
Пример 3. Вероятность наступления события A в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) ровно 750 раз; б) от 710 до 740 раз.
Решение.Выпишем параметры задачи:
а) Необходимо вычислить при k=750. Воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа. Вычислим сначала . По таблице 2, . Таким образом,
б) Необходимо вычислить при k1=710 и k2=740. Вычислим сначала . Аналогично вычисляем . По таблице 3 находим и . Окончательный ответ
Доверительная вероятность (уровень надежности). Величина , где – относительная частота успеха, называется доверительной вероятностью (надежностью) и показывает ту долю испытаний, в которых отклонение относительной частоты от теоретической вероятности p не превышает заданной погрешности e. Используя интегральную формулу Муавра-Лапласа, можно получить, что , где
Пример 4.Доля брака в крупной партии изделий составляет 10%. Из партии случайно выбирается 20 изделий. Насколько вероятно, что доля брака в выборке (выборочная доля) будет отличаться от доли брака во всей партии (генеральная доля) не более, чем на 1%. Какую величину отклонения выборочной доли от генеральной доли можно гарантировать с уровнем надежности 0,95. Какой должен быть объем выборки, чтобы можно было гарантировать с уровнем надежности 0,95, что выборочная доля отличается от генеральной доли не более чем на 5%.
Решение.Так как партия крупная, то можно считать, что изделия выбираются по схеме с возвращением и количество брака в выборке имеет биномиальное распределение с параметрами n=20 и p=0,1.
Найдем вероятность того, что выборочная доля будет отличаться от генеральной доли не более чем на 1%, т.е. , где e=0,01. Воспользуемся формулой, приведенной выше. Имеем и .
Найдем теперь величину отклонения e, которую можно гарантировать с вероятностью 0,95. Имеем . По таблице находим, что z=1,96. Из соотношения выражаем e. Имеем,
Найдем объем выборки n, который бы гарантировал с надежностью b=0,95 величину отклонения e=0,05. Из соотношения выражаем e. Имеем,
Пример 5. Для оценки доли бракованных изделий в партии выбрали 600 деталей. С доверительной вероятностью 0,997, определите границы, в которых заключен процент брака в партии, если в выборке было обнаружено 120 бракованных?
Решение.Согласно теореме Бернулли, при достаточно большом n, и следовательно . Найдем величину статистической погрешности e, которую мы можем гарантировать при заданном уровне надежности b=0,997. По таблице значений функции F(z) находим, что z=2,96. Следовательно . Таким образом доля бракованных изделий в партии может быть оценена как или
Формула Пуассона.При больших n и малых p (p<0,1 и np<4) справедлива приближенная формула Пуассона
, где .
Пример 6. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, чти он позвонит на станцию в течении часа равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов.
Решение. Так как р=0,01 - достаточно мало, n=400 велико и np=4, то применим формулу Пуассона,
Таблица 2. Функция
x | 0,02 | 0,04 | 0,06 | 0,08 | |
0,3989 | 0,3989 | 0,3986 | 0,3982 | 0,3977 | |
0,1 | 0,3970 | 0,3961 | 0,3951 | 0,3939 | 0,3925 |
0,2 | 0,3910 | 0,3894 | 0,3876 | 0,3857 | 0,3836 |
0,3 | 0,3814 | 0,3790 | 0,3765 | 0,3739 | 0,3712 |
0,4 | 0,3683 | 0,3653 | 0,3621 | 0,3589 | 0,3555 |
0,5 | 0,3521 | 0,3485 | 0,3448 | 0,3410 | 0,3372 |
0,6 | 0,3332 | 0,3292 | 0,3251 | 0,3209 | 0,3166 |
0,7 | 0,3123 | 0,3079 | 0,3034 | 0,2989 | 0,2943 |
0,8 | 0,2897 | 0,2850 | 0,2803 | 0,2756 | 0,2709 |
0,9 | 0,2661 | 0,2613 | 0,2565 | 0,2516 | 0,2468 |
0,2420 | 0,2371 | 0,2323 | 0,2275 | 0,2227 | |
1,1 | 0,2179 | 0,2131 | 0,2083 | 0,2036 | 0,1989 |
1,2 | 0,1942 | 0,1895 | 0,1849 | 0,1804 | 0,1758 |
1,3 | 0,1714 | 0,1669 | 0,1626 | 0,1582 | 0,1539 |
1,4 | 0,1497 | 0,1456 | 0,1415 | 0,1374 | 0,1334 |
1,5 | 0,1295 | 0,1257 | 0,1219 | 0,1182 | 0,1145 |
1,6 | 0,1109 | 0,1074 | 0,1040 | 0,1006 | 0,0973 |
1,7 | 0,0940 | 0,0909 | 0,0878 | 0,0848 | 0,0818 |
1,8 | 0,0790 | 0,0761 | 0,0734 | 0,0707 | 0,0681 |
1,9 | 0,0656 | 0,0632 | 0,0608 | 0,0584 | 0,0562 |
0,0540 | 0,0519 | 0,0498 | 0,0478 | 0,0459 | |
2,1 | 0,0440 | 0,0422 | 0,0404 | 0,0387 | 0,0371 |
2,2 | 0,0355 | 0,0339 | 0,0325 | 0,0310 | 0,0297 |
2,3 | 0,0283 | 0,0270 | 0,0258 | 0,0246 | 0,0235 |
2,4 | 0,0224 | 0,0213 | 0,0203 | 0,0194 | 0,0184 |
2,5 | 0,0175 | 0,0167 | 0,0158 | 0,0151 | 0,0143 |
2,6 | 0,0136 | 0,0129 | 0,0122 | 0,0116 | 0,0110 |
2,7 | 0,0104 | 0,0099 | 0,0093 | 0,0088 | 0,0084 |
2,8 | 0,0079 | 0,0075 | 0,0071 | 0,0067 | 0,0063 |
2,9 | 0,0060 | 0,0056 | 0,0053 | 0,0050 | 0,0047 |
0,0044 | 0,0042 | 0,0039 | 0,0037 | 0,0035 | |
3,1 | 0,0033 | 0,0031 | 0,0029 | 0,0027 | 0,0025 |
Таблица 3.
x | 0,02 | 0,04 | 0,06 | 0,08 | |
0,0000 | 0,0080 | 0,0160 | 0,0239 | 0,0319 | |
0,1 | 0,0398 | 0,0478 | 0,0557 | 0,0636 | 0,0714 |
0,2 | 0,0793 | 0,0871 | 0,0948 | 0,1026 | 0,1103 |
0,3 | 0,1179 | 0,1255 | 0,1331 | 0,1406 | 0,1480 |
0,4 | 0,1554 | 0,1628 | 0,1700 | 0,1772 | 0,1844 |
0,5 | 0,1915 | 0,1985 | 0,2054 | 0,2123 | 0,2190 |
0,6 | 0,2257 | 0,2324 | 0,2389 | 0,2454 | 0,2517 |
0,7 | 0,2580 | 0,2642 | 0,2704 | 0,2764 | 0,2823 |
0,8 | 0,2881 | 0,2939 | 0,2995 | 0,3051 | 0,3106 |
0,9 | 0,3159 | 0,3212 | 0,3264 | 0,3315 | 0,3365 |
0,3413 | 0,3461 | 0,3508 | 0,3554 | 0,3599 | |
1,1 | 0,3643 | 0,3686 | 0,3729 | 0,3770 | 0,3810 |
1,2 | 0,3849 | 0,3888 | 0,3925 | 0,3962 | 0,3997 |
1,3 | 0,4032 | 0,4066 | 0,4099 | 0,4131 | 0,4162 |
1,4 | 0,4192 | 0,4222 | 0,4251 | 0,4279 | 0,4306 |
1,5 | 0,4332 | 0,4357 | 0,4382 | 0,4406 | 0,4429 |
1,6 | 0,4452 | 0,4474 | 0,4495 | 0,4515 | 0,4535 |
1,7 | 0,4554 | 0,4573 | 0,4591 | 0,4608 | 0,4625 |
1,8 | 0,4641 | 0,4656 | 0,4671 | 0,4686 | 0,4699 |
1,9 | 0,4713 | 0,4726 | 0,4738 | 0,4750 | 0,4761 |
0,4772 | 0,4783 | 0,4793 | 0,4803 | 0,4812 | |
2,1 | 0,4821 | 0,4830 | 0,4838 | 0,4846 | 0,4854 |
2,2 | 0,4861 | 0,4868 | 0,4875 | 0,4881 | 0,4887 |
2,3 | 0,4893 | 0,4898 | 0,4904 | 0,4909 | 0,4913 |
2,4 | 0,4918 | 0,4922 | 0,4927 | 0,4931 | 0,4934 |
2,5 | 0,4938 | 0,4941 | 0,4945 | 0,4948 | 0,4951 |
2,6 | 0,4953 | 0,4956 | 0,4959 | 0,4961 | 0,4963 |
2,7 | 0,4965 | 0,4967 | 0,4969 | 0,4971 | 0,4973 |
2,8 | 0,4974 | 0,4976 | 0,4977 | 0,4979 | 0,4980 |
2,9 | 0,4981 | 0,4982 | 0,4984 | 0,4985 | 0,4986 |
0,4987 | 0,4987 | 0,4988 | 0,4989 | 0,4990 | |
3,1 | 0,4990 | 0,4991 | 0,4992 | 0,4992 | 0,4993 |