Тема 2. Дискретная случайная величина

Тема 2. Дискретная случайная величина

L = 2 + последняя цифра в зачетке m = 4 p = L/R

Дискретная случайная величина.

где и Функция распределенияслучайной величины: Математическое ожидание (среднее значение, ожидаемое значение) дискретной случайной величины: , если ряд сходится

Схема Бернулли

Формула Бернулли. Вероятность того, что в n независимых испытаниях ровно k раз наступит успех, равна

,

где p – вероятность успеха в отдельном испытании, q=1-p – вероятность неудачи.

Наиболее вероятное число успехов. Число успехов k=m₀, при котором вероятность P_n(k) становится максимальной, называется наиболее вероятным числом успехов, т.е. . Число m₀ определяется следующим образом: и если (n+1)p является целым числом, то наиболее вероятным числом также будет и m₀-1.

Ожидаемая частота успеха., где случайная величина - число успехов в схеме Бернулли.

Пример 1.Для данного баскетболиста вероятность забросить мяч в корзину равна 0,6. Произведено 8 бросков. Найти наивероятнейшее число попаданий и соответствующую вероятность.

Решение.Будет считать, что каждый бросок представляетсобой независимое испытание с двумя исходами. Под успехом будем понимать попадание мячом в корзину. Таким образом, в качестве модели можно использовать схему Бернулли с n=8 и р=0,6. Вычислим (n+l)p=(8+1)x0.6=5,4. Следовательно, наивероятнейшее число успехов m_n=5. Согласно формуле Бернулли, имеем .

Пример 2. Монета подкидывается 10 раз. Найти вероятность того, что "герб" выпадет, по крайней мере, три раза.

Решение. Будем считать, что монета симметричная, т.е. р=1/2. Нам необходимо вычислить P₁₀(3,10) = P₁₀(3)+ P₁₀(4)+ ...+Р₁₀(10). Заметим, что вероятность противоположного события, состоящего в том, что "герб" выпадет не больше двух раз, Р₁₀(0,2) = Р₁₀(0)+Р₁₀(1)+Р₁₀(2), требует меньших вычислений. Проведя соответствующие вычисления, получим, что , и следовательно,

Локальная формула Муавра-Лапласа. При больших n имеет место приближенное равенство

, где , - кривая Гаусса (таблица 2).

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.При больших n имеет место приближенное равенство

, где , , - функция Лапласа.

Пример 3. Вероятность наступления события A в каждом из 900 независимых испытаний равна 0,8. Найти вероятность того, что событие А произойдет: а) ровно 750 раз; б) от 710 до 740 раз.

Решение.Выпишем параметры задачи:

а) Необходимо вычислить при k=750. Воспользуемся локальной формулой Муавра-Лапласа. Вычислим сначала . По таблице 2, . Таким образом,

б) Необходимо вычислить при k₁=710 и k₂=740. Вычислим сначала . Аналогично вычисляем . По таблице 3 находим и . Окончательный ответ

Доверительная вероятность (уровень надежности). Величина , где – относительная частота успеха, называется доверительной вероятностью (надежностью) и показывает ту долю испытаний, в которых отклонение относительной частоты от теоретической вероятности p не превышает заданной погрешности e. Используя интегральную формулу Муавра-Лапласа, можно получить, что , где

Пример 4.Доля брака в крупной партии изделий составляет 10%. Из партии случайно выбирается 20 изделий. Насколько вероятно, что доля брака в выборке (выборочная доля) будет отличаться от доли брака во всей партии (генеральная доля) не более, чем на 1%. Какую величину отклонения выборочной доли от генеральной доли можно гарантировать с уровнем надежности 0,95. Какой должен быть объем выборки, чтобы можно было гарантировать с уровнем надежности 0,95, что выборочная доля отличается от генеральной доли не более чем на 5%.

Решение.Так как партия крупная, то можно считать, что изделия выбираются по схеме с возвращением и количество брака в выборке имеет биномиальное распределение с параметрами n=20 и p=0,1.

Найдем вероятность того, что выборочная доля будет отличаться от генеральной доли не более чем на 1%, т.е. , где e=0,01. Воспользуемся формулой, приведенной выше. Имеем и .

Найдем теперь величину отклонения e, которую можно гарантировать с вероятностью 0,95. Имеем . По таблице находим, что z=1,96. Из соотношения выражаем e. Имеем,

Найдем объем выборки n, который бы гарантировал с надежностью b=0,95 величину отклонения e=0,05. Из соотношения выражаем e. Имеем,

Пример 5. Для оценки доли бракованных изделий в партии выбрали 600 деталей. С доверительной вероятностью 0,997, определите границы, в которых заключен процент брака в партии, если в выборке было обнаружено 120 бракованных?

Решение.Согласно теореме Бернулли, при достаточно большом n, и следовательно . Найдем величину статистической погрешности e, которую мы можем гарантировать при заданном уровне надежности b=0,997. По таблице значений функции F(z) находим, что z=2,96. Следовательно . Таким образом доля бракованных изделий в партии может быть оценена как или

Формула Пуассона.При больших n и малых p (p<0,1 и np<4) справедлива приближенная формула Пуассона

, где .

Пример 6. Телефонная станция обслуживает 400 абонентов. Для каждого абонента вероятность того, чти он позвонит на станцию в течении часа равна 0,01. Найти вероятность того, что в течение часа позвонят 5 абонентов.

Решение. Так как р=0,01 - достаточно мало, n=400 велико и np=4, то применим формулу Пуассона,

 

Таблица 2. Функция

x		0,02	0,04	0,06	0,08
	0,3989	0,3989	0,3986	0,3982	0,3977
0,1	0,3970	0,3961	0,3951	0,3939	0,3925
0,2	0,3910	0,3894	0,3876	0,3857	0,3836
0,3	0,3814	0,3790	0,3765	0,3739	0,3712
0,4	0,3683	0,3653	0,3621	0,3589	0,3555
0,5	0,3521	0,3485	0,3448	0,3410	0,3372
0,6	0,3332	0,3292	0,3251	0,3209	0,3166
0,7	0,3123	0,3079	0,3034	0,2989	0,2943
0,8	0,2897	0,2850	0,2803	0,2756	0,2709
0,9	0,2661	0,2613	0,2565	0,2516	0,2468
	0,2420	0,2371	0,2323	0,2275	0,2227
1,1	0,2179	0,2131	0,2083	0,2036	0,1989
1,2	0,1942	0,1895	0,1849	0,1804	0,1758
1,3	0,1714	0,1669	0,1626	0,1582	0,1539
1,4	0,1497	0,1456	0,1415	0,1374	0,1334
1,5	0,1295	0,1257	0,1219	0,1182	0,1145
1,6	0,1109	0,1074	0,1040	0,1006	0,0973
1,7	0,0940	0,0909	0,0878	0,0848	0,0818
1,8	0,0790	0,0761	0,0734	0,0707	0,0681
1,9	0,0656	0,0632	0,0608	0,0584	0,0562
	0,0540	0,0519	0,0498	0,0478	0,0459
2,1	0,0440	0,0422	0,0404	0,0387	0,0371
2,2	0,0355	0,0339	0,0325	0,0310	0,0297
2,3	0,0283	0,0270	0,0258	0,0246	0,0235
2,4	0,0224	0,0213	0,0203	0,0194	0,0184
2,5	0,0175	0,0167	0,0158	0,0151	0,0143
2,6	0,0136	0,0129	0,0122	0,0116	0,0110
2,7	0,0104	0,0099	0,0093	0,0088	0,0084
2,8	0,0079	0,0075	0,0071	0,0067	0,0063
2,9	0,0060	0,0056	0,0053	0,0050	0,0047
	0,0044	0,0042	0,0039	0,0037	0,0035
3,1	0,0033	0,0031	0,0029	0,0027	0,0025

Таблица 3.

x		0,02	0,04	0,06	0,08
	0,0000	0,0080	0,0160	0,0239	0,0319
0,1	0,0398	0,0478	0,0557	0,0636	0,0714
0,2	0,0793	0,0871	0,0948	0,1026	0,1103
0,3	0,1179	0,1255	0,1331	0,1406	0,1480
0,4	0,1554	0,1628	0,1700	0,1772	0,1844
0,5	0,1915	0,1985	0,2054	0,2123	0,2190
0,6	0,2257	0,2324	0,2389	0,2454	0,2517
0,7	0,2580	0,2642	0,2704	0,2764	0,2823
0,8	0,2881	0,2939	0,2995	0,3051	0,3106
0,9	0,3159	0,3212	0,3264	0,3315	0,3365
	0,3413	0,3461	0,3508	0,3554	0,3599
1,1	0,3643	0,3686	0,3729	0,3770	0,3810
1,2	0,3849	0,3888	0,3925	0,3962	0,3997
1,3	0,4032	0,4066	0,4099	0,4131	0,4162
1,4	0,4192	0,4222	0,4251	0,4279	0,4306
1,5	0,4332	0,4357	0,4382	0,4406	0,4429
1,6	0,4452	0,4474	0,4495	0,4515	0,4535
1,7	0,4554	0,4573	0,4591	0,4608	0,4625
1,8	0,4641	0,4656	0,4671	0,4686	0,4699
1,9	0,4713	0,4726	0,4738	0,4750	0,4761
	0,4772	0,4783	0,4793	0,4803	0,4812
2,1	0,4821	0,4830	0,4838	0,4846	0,4854
2,2	0,4861	0,4868	0,4875	0,4881	0,4887
2,3	0,4893	0,4898	0,4904	0,4909	0,4913
2,4	0,4918	0,4922	0,4927	0,4931	0,4934
2,5	0,4938	0,4941	0,4945	0,4948	0,4951
2,6	0,4953	0,4956	0,4959	0,4961	0,4963
2,7	0,4965	0,4967	0,4969	0,4971	0,4973
2,8	0,4974	0,4976	0,4977	0,4979	0,4980
2,9	0,4981	0,4982	0,4984	0,4985	0,4986
	0,4987	0,4987	0,4988	0,4989	0,4990
3,1	0,4990	0,4991	0,4992	0,4992	0,4993