Общая модель с несколькими режимами

После разложения уравнения в ряд Тейлора и объединения двух моделей получается общая модель с несколькими режимами.

R_t+1 =β_s0 + β_s1P_t^nf+η_t+1, η_t+1 ~iid(0,σ²_s), с вероятностью q для состояния S,

R_t+1 =β_c0 + β_c1P_t^nf+η_t+1, η_t+1 ~iid(0,σ²_с), с вероятностью 1-q для состояния C,

Prob(State_t+1=S)=q(P_t^nf)=Φ(β_q0+β_q1(P_t^nf)²), при следующих ограничениях:

β_s0≠ β_c0, β_c1<0 < β_s1, β_q1>0.

В прошлом тестирование моделей равновесия было ограничено из-за отсутствия данных, так как коинтеграционный анализ, требует длинных временных рядов для тестирования долгосрочных взаимосвязей. Поэтому большинство исследований проводилось на рынке США, Великобритании и некоторых других стран, по которым доступны большие объемы данных. Преимуществом исследования Adams, Fuss является то, что в нем анализируются макроэкономические данные и данные рынка недвижимости по 15 странам, используя коинтеграционный подход на панельных данных, предложенный Педрони (1999, 2004). Панельные данные позволяют рассматривать не T наблюдений временных рядов по одной стране, а объединяет данные по N странам, поэтому выборка существенно увеличивается.

Использование панельных данных делает оценки устойчивыми. Однако, основное преимущество заключается в том, что панельные данные позволяют получить общие, международные оценки по рынку недвижимости, путем взвешивания оценок по каждой стране. Это делает возможным предсказание агрегированных цен на международном уровне, а также сравнение эластичности по странам, позволяя судить об интеграции стран. Исследования других авторов показывают, что регрессоры в панельных данных коинтегрированы, даже если коинтеграции нет во временных рядах. Данное исследование не только подтверждает результаты предыдущих исследований, но в нем также анализируются различия между странами в интегрированной долгосрочной модели равновесия.

Анализ строится на модели равновесия Ди Паскаля и Витона (1996). Функцию спроса можно представить в следующем виде:

D_t=α+β’x_t^D+δ’z_t^D+ε_t, где:

x_t^D – вектор макропеременных, влияющих на спрос,

z_t^D – вектор факторов, влияющих на спрос в отдельных странах: социальные факторы, особенности ипотечного рынка и налогообложения и другие.

Вектор z_t^D включается в ошибку и уравнение спроса выглядит следующим образом:

D_t=α+β₁hp_t+β₂EA_t+ β3long_t +ε_t.

Более высокие цены на недвижимость (hp) уменьшают спрос на нее, а больший уровень экономической активности (EA) приводит к росту спроса. Рост долгосрочных процентных ставок (long) делает другие варианты инвестирования более привлекательными, что уменьшает спрос из-за перетока капитала на другие рынки. К тому же повышение долгосрочных процентных ставок уменьшает спрос из-за повышения процентных ставок по ипотеке.

Аналогично записывается уравнение предложения: микрофакторы, такие как доступность земли или социальное строительство, включается в ошибку.

S_t=η+γ₁hp_t-γ₂constr_t+ν_t.

Рост цен (hp) побуждает инвесторов строить, а увеличение издержек на строительство (constr) негативно влияет на инвестиции строительство нового жилья. Решая уравнения относительно цен на недвижимость, получается следующее:

hp_it=α_i^*+β_2i^*EA_it+γ_2i^*constr_it-β_3i^*long_it+ε_it^*.

Коинтеграционный анализ для нестационарных рядов проводится в три этапа:

1. Тестирование переменных на стационарность, используя тесты на наличие единичных корней,

2. Проведение коинтеграционных тестов для панельных данных для определения долгосрочных взаимосвязей в точке равновесия,

3. Анализ краткосрочной динамики.

 

Тестирование моделей и полученные результаты

Micked, Zemchik проводят unit-root тест (тест на единичный корень) для цен на недвижимость и денежных потоков от аренды, чтобы эмпирически проверить присутствие пузыря на рынке. Четыре возможных результата теста:

· P_i,t – стационарны и C _i,t – стационарны; (равенство (1) не может объяснить поведение Р и С, но это не из-за пузыря)

· P_i,t – стационарны и C _i,t – нестационарны; (несостоятельность модели PV)

· P_i,t – нестационарны и C _i,t – стационарны; (присутствует пузырь)

· P_i,t – нестационарны и C _i,t – нестационарны; (требуется проверка на коинтеграцию между ценами объектов недвижимости и денежными потоками, предполагая, что их первые разности являются стационарными).

3. Тесты на стационарность для панельных данных

Цены на недвижимость и доходы от недвижимости имеют один и тот же порядок интеграции, естественным следующим шагом является тестирование их на коинтеграцию в панельных данных.

4. Проверка на Коинтеграцию

ADF-Т статистика составляет 1,82, что намного выше по сравнению с 10% критическим значением, равным -2,03. Таким образом, цены на недвижимость и доходы от недвижимости явно не коинтегрированы и использование модели коррекции ошибок не возможно.

Авторы объединили тесты на единичный корень и на коинтеграцию для того, чтобы понять взаимосвязь между ценами на недвижимость и арендной платой (доходов от недвижимости). Они предлагают индикатор, который является обобщением PV модели. Согласно теории пузырь присутствует на рынке если:

1. Уровень цен нестационарный, хотя арендная плата стационарна;

ЛИБО

2. И цены и аренда – первого порядка интеграции, но они не коинтегрированы.

Авторы хотят оценить, как вероятность возникновения пузыря меняется со временем. Они определяют 10-летние интервалы (с нахлестом) для рассматриваемого периода. Если индикатор принимает значение 0 - все стационарно, 1 – цены не стационарны, арендная плата стационарна. Для построения используется тест на стационарность: индикатор равен p-value CIPS теста для отношения P/R.

Также авторы проводят анализ взаимозависимости построенного ими индикатора с уже имеющимися на рынке.

В результате проведенного исследования авторы статьи пришли к следующим выводам. Весь период цены на недвижимость и аренда либо имели разный порядок интеграции, либо были не коинтегрированы. Нельзя использовать модель коррекции ошибок с основным фактором – арендной платой (доходом от недвижимости). Согласно P/R отношению рациональный пузырь был в поздних 80-х и 90-х до 2005 года. Нестационарность этого отношения не дает возможности использовать стандартную технику для предсказания прогнозной силы. Но, если цена и доходы интегрированные ряды первого порядка, то можно использовать тест Грейнджера. Для этого был построен индикатор пузыря.

Агрегированное среднее отношение P/R не стационарно, поэтому нельзя использовать стандартную методологию, и следует перейти к прогнозированию в терминах причинности по Грейнджеру. Первые разности для обоих показателей стационарны, поэтому авторы могут проверить причинную связь между ними. Это позволяет им определить факт влияния изменения цен на изменения в арендной плате и наоборот.

Для проведения дальнейшего исследования авторы советуют расширять исследование, добавляя новые независимые переменные (доход (располагаемый), процентную ставку), но кросс-секшион выборка сократится.

Arshanapalli, Nelson также как и предыдущей статье проверяют переменные на стационарность. Только нестационарные переменные могут быть коинтегрированы. Авторы проводят ADF тест и Phillips Peron тест. Переменные не стационарны на 5% уровне значимости по итогам тестов. Затем проводят процедуру Johansen- Juselius (1990) для тестирования коинтеграции.

Проводится анализ корреляции цен на недвижимость с семью фундаментальными факторами до периода резкого роста цен и во время этого периода. Результат: коэффициенты корреляции достаточно высокие, самая низкая корреляция цен на недвижимость с безработицей и ставкам по ипотеке. Корреляционный анализ не выявляет сильного изменения взаимоотношений между ценами и фундаментальными факторами в двух периодах, поэтому переходим к коинтеграции.

Далее проверялись цены и все семь фундаментальных переменных на коинтеграцию. Для каждой из независимых переменных и цен была построена коинтеграционная регрессия. Период до резкого роста цен: Trace Statistic Test показывает, что для трех переменных (Top Fifth, Middle Fifth and the Unemployment Rate) нулевая гипотеза об отсутствии коинтеграции на 5% уровне значимости отвергается. На 10% уровне значимости она отвергается и для Homebuilders Stock Index. Таким образом, можно сказать, что до резкого роста цен, цены на недвижимость имели тесную связь с уровнем безработицы, доходом и менее тесную с индексом цен акций строительных компаний. Период после резкого роста цен: здесь Trace Statistic Test неинформативен, характеристическое значение не отличается от 0 во всех уравнениях на 5% уровне значимости. Но p-value для middle fifth of income =0,0502. Предполагая, что пузырь лопнул в конце 2005 года, авторы тестируют коинтеграцию с 1975 по 2005 год. Интересующее их значение p-value равно 11%. Гипотеза об отсутствии коинтеграции не может быть отвергнута. Таким образом, связь между ценами и фундаментальными факторами после 2000 года значительно ослабляется, то есть наблюдается пузырь

В исследовании Maurice J. Rocheрассматривается несколько моделей оценки нефундаментальных факторов цен. Особенностью использования модели с несколькими режимами является то, что ни неправильная спецификация, ни неправильный выбор шкалы не влияют на результаты, так как ограничения на коэффициенты и тесты отношения правдоподобия нечувствительны к линейным преобразованиям. Для оценки моделей необходимо оценить нефундаментальную цену недвижимости, которая сильно коррелирует с истинной стоимостью на жилье.

Первый способ оценки нефундаментальной части цены недвижимости основан на соотношении спроса и предложения. Учитывая неэластичность предложения недвижимости авторы используют остатки регрессии, оценивающей обратную функцию спроса для нахождения прокси-переменной для нефундаментальной цены недвижимости. В модели спроса регрессорами выступают ожидаемый реальный располагаемый доход, ожидаемые реальные ставки по ипотеке, демографическая переменная. В качестве зависимой переменной берутся средние реальные цены на новую недвижимость в Дублине.

Для оценки влияния демографических факторов на цену было учтено несколько факторов. Во-первых, в выборке берутся взрослые 25-44 лет, так как они предъявляют наибольший спрос на первичном рынке недвижимости. Эта группа населения растет в течение последних двадцати лет, образуя линейный тренд. Во-вторых, многие эмигранты из Ирландии возвращаются в Великобританию из-за экономического роста и предъявляют спрос на жилье. Уравнение оцененной лог-линейной регрессии выглядит следующим образом:

P_t=-3.71+0.8y_t-0.01i_t+3.06n_t,

Цена положительно зависит от дохода (y_t), числа иммигрантов (n_t) и отрицательно от процентной ставки (i_t). Если гипотеза о существовании пузыря не отвергается, то в состоянии S цена имеет взрывной характер, а в состоянии С возвращается к своему среднему значению.

Второй метод оценивания пузыря основан на стандартной модели ценообразования активов, согласно которой фундаментальная цена актива равна дисконтированному потоку будущих дивидендов к настоящему периоду. Для оценки цены на недвижимость вместо дивидендов берется арендная плата. В 1990 году Мис и Вэллас, используя ARIMA модель, показали, что цены на жилье связаны с текущей арендной платой. В свою очередь, Шэллер и Норден в 1997 году показали, что фундаментальную цену можно представить в виде уравнения:

P_t^f=(p͞/ r͞)*r_t, где r_t – арендная плата.

Во многих работах упоминается, что агентства недвижимости устанавливают слишком высокую арендную плату, провоцируя рост цен. Однако, практически это невозможно проверить из-за недоступности данных. Поэтому оценка строится на общей стоимости ипотеки на рынке, данные по которой доступны. С января 1996 по апрель 1998 выплаты по ипотеке агентств недвижимости выросли на 105%. Авторы вводят новую прокси-переменную, предполагая, что пузырь сильно коррелирует с ростом ипотечных выплат по приобретению нового жилья агентствами недвижимости.

Последний метод основан на предположении о том, что во время бурного роста цен растет соотношение цен на жилье и издержек на его на строительство. Так, начиная с 1996 года, этот показатель вырос более чем на 56%. Это связано с тем, что строительные компании стремятся разными способами увеличить свою прибыль. Почти 30% от цены построенного жилья составляют расходы на развитие инфраструктуры. Если предположить, что это соотношение практически не меняется с течением времени, то оно не должно влиять на корреляцию между оцененным и фактическим значением пузыря.

В проведенном исследовании на основе модели с режимами было протестировано наличие пузыря, используя данные об избыточной доходности. Независимо от способа определения пузыря эта модель лучше описывает данные, чем модели Саммерса, Бланшара и Ватсона. Если же сравнивать методы оценки пузыря, то все методы кроме первого отвергаются. При этом общая модель лучше модели с постоянными вероятностями состояний C и S.

Далее для каждого из методов рассматривается значимость коэффициента наклона и его совпадение его наклона с ожиданиями. Для каждого из методов коэффициент, отражающий избыточную доходность для состояния, в котором пузырь не лопается, значим на 1% уровне. Однако, для состояния С (в котором пузырь лопается) только один из методов дает значимую оценку на 10% уровне.

Таким образом, большая часть полученных оценок отклонений от фундаментальной цены объясняют избыточную доходность в следующем квартале. Построенная модель доказывает существование спекулятивного пузыря на рынке недвижимости в Дублине. Однако, некоторые авторы отмечают, что несмотря на то, что поведение цены указывает на наличие пузыря, это не является доказательством его существования. Поэтому в качестве возможного дальнейшего исследования авторы советуют рассмотреть фундаментальные факторы ценообразования в рамках построенной модели.

Adams, Fussпроводят исследование в несколько этапов.

1. Тест на единичные корни

В исследовании используется тест Хенка. Этот тест показывает хорошие результаты и его достаточно легко применить. Нулевая гипотеза о наличии единичного корня не может быть отвергнута, но некоторые страны показывают стационарность для некоторых переменных. Для решения этой проблемы анализ проводится для данных в первых разностях.

2. Тест на коинтеграцию.

Для тестирования на коинтеграцию авторы используют тест, предложенный Педрони (2000), который применяется для несбалансированных панелей (панельных данных, в которых отсутствуют данные по некоторым странам или периодам). Нулевая гипотеза не отвергается, если коинтеграция отсутствует. Строится регрессия, в которой учитываются индивидуальные фиксированные эффекты и индивидуальные временные тренды, что увеличивает критические значении статистик. На наличие единичных корней тестируются остатки регрессии. Из-за наличия единичного корня, среднее по выборке не сходится к генеральному среднему с увеличением выборки.

Для целей исследования был выбран непараметрический тест Филлипса-Перрона Ро (PPr), для которого не требуется однородность остатков. Полученная тестовая статистика отвергает нулевую гипотезу об отсутствии коинтеграции.

3. Оценка коинтеграционного вектора

Авторы используют динамический МНК для панельных данных (panel DOLS). Этот метод показывает долгосрочные эффекты рассматриваемых явлений, учитывает накопление эффекта во времени и инертность цен. Результаты исследования подтверждают теоретические выводы предложенной модели. Общие оценки получены взвешиванием оценок по отдельным странам, при этом индивидуальные оценки различаются довольно сильно. Так, оценка коэффициента экономической активности колеблется от -0,95 для Канады до 1,06 для Нидерландов. Серьезные различия позволяют разделить страны на несколько групп, но сделать общие выводы для всех стран невозможно.

В одну группу попали в основном небольшие европейские страны, соседствующие друг с другом. Во вторую группу попали страны, пространственно разделенные. Можно судить лишь об одинаковой реакции цен для стран-соседей. В первой группе поведение цен неоднородно, оценки по этим странам не совпадают с результатами предыдущих исследований. Во второй, наоборот, коэффициенты однородны и могут быть индикаторами международного рынка недвижимости.

4. Модель коррекции ошибок.

Модель коррекции ошибок помогает определить, сколько времени нужно рынку, чтобы вернуться к равновесию после экзогенного шока в экономике. Отклонения от точки равновесия выражаются следующей формулой:

ecm_it=hp_it-β₁ea_it- β₂constr_it- β₃long_it.

Если регрессоры находятся в равновесии, то ecm_it равен нулю.

Процесс подстройки цен может быть измерен путем включения лаговых переменных в уравнение регрессии, при этом вводимые переменные должны быть стационарны. Модель оценивается методом DOLS.

Если не рассматривать первую группу, которая включалась в выборку только для полноты, то коррекция ошибок значима и важна, отклонения от среднего устойчивы. Половина отклонения от равновесия корректируется приблизительно за 17 кварталов или 4 года, а для практически полной подстройки к равновесию (90%) необходимо 56 кварталов (14 лет). Длинный период подстройки цен авторы объясняют инертностью цен жилой недвижимости в сторону их понижения.

Несмотря на длительный период подстройки, результаты модели могут быть недооценены, так как из данных был исключен период после 2000 годов, когда на рынке существовал пузырь.

В качестве дальнейшего развития исследования авторы говорят о необходимости проведения анализа и в долгосрочном, и в краткосрочном периоде, так как инертность цен добавляет времени распространению эффектов.