Модель міжгалузевого балансу

Розглянемо приклад максимально спрощеної системи з двох виробничих галузей по таблиці:

Таблиця

№ галузі (k)   № галузі (i)	споживання	Всього витрати ∑Xik	Кінцевий продукт yi	Валовий випуск Xi
виробництво		0,2	0,4
	0,55	0,1
всьогo витрат за к-ю галузей

 

Продукція кожної галузі частково йде на зовнішнє споживання (кінцевий продукт), а частково використовується в якості сировини, полуфабрикатів в інших галузях чи в даній (виробниче споживання).

Розпишемо дану таблицю в загальному вигляді таблиці:

Таблиця

№ галузі (k)   № галузі (i)	споживання	Всього витрати ∑xik i	кінцевий продукт yi	Валовий випуск xi
виробництво		a11     x11	a12     x12	∑x1k	y1	x1
	a21   x21	a22     x22	∑x2k	y2	x2
всьогo витрат за к-ю галузей	∑xi1	∑xi2

 

Очевидно, величини, розміщенні в рядках, пов’язані наступними балансовими рівняннями

x₁- (x₁₁+x₁₂)= y₁

 

x₂- (x₂₁+x₂₂)= y₂

Одна з задач балансових досліджень полягає в тому, щоб на базі даних про виконання балансу за попередній період визначити вихідні дані на плануємий період.

Розрахуємо по даній таблиці коефіцієнти прямих витрат – відношення кількості продукції і-ї галузі, що потрапляє в к-ту галузь для забезпечення випуску її продукції в розмірі х_k, тобто

a_ik= x_ik/x_k (i,k=1,n),

звідки

x_ik=a_ik · x_k,

тобто, витрати і-ї галузі в к-ту галузь пропорціональні її валовому випуску (залежать лінійно від валового випуску х_i).

Ці співвідношення називають умовою лінійності прямих витрат.

 

Розглянута таблиця є не чим іншим, як однією з основних економічних моделей: міжгалузевий баланс виробництва і розподілення продукції в народному господарстві (МГБ).

В загальному вигляді МГБ складається з 4 основних частин – квадрантів (таблиця 3):

1 квадрант вміщує показники матеріальних витрат на виробництво продукції. Величина х_ik представляє собою вартість засобів виробництва, вироблених в і-тій галузі і споживаємих в якості матеріальних витрат в к-тій галузі. Можна сказати, що сума всіх елементів квадратної матриці n-го порядку дорівнюють річному фонду відшкодування витрат засобів виробництва в матеріальній сфері.

2 квадрант показує кінцеву продукцію, що використовується на невиробниче споживання, накопичення і експорт. Цей квадрант можна розглядати як розподілення національного доходу на фонд накопичення і фонд споживання по галузям виробництва і споживання.

3 квадрант характеризує національний доход, але з точки зору його вартісного складу чистої продукції ( оплата праці, прибуток, податок з обороту і т.д.).

В 4 квадранті відображається перерозподіл чистої продукції. По стовпцям балансу вони представляють формування вартості валової продукції, а по рядках – розподіл тієї ж продукції в народному господарстві. Тому показники стовпців і рядків рівні.

В цілому міжгалузевий баланс в рамках загальної моделі поєднує баланси галузей матеріального виробництва, баланс сукупного суспільного продукту, баланси національного доходу, прибутків і витрат населення.

Виходячи з формул, розділимо показники будь-якого стовпця МОБ на результат цього стовпця (рядка), тобто на валову продукцію. Отримаємо витрати на одиницю цієї продукції a_ik (i, k=1,n), що утворюють матрицю прямих витрат А.

 

Таблиця

	Споживаючі галузі 1-я 2-я … k-я … n-я	Кінцева продукція. Всього спожив накопи продук ання чення ція Y1 Y2
	Виробляючи галузі n-я … i-я … 2-я … 1-я	X11   X12   X1k   X1n   X21   X22   X2x   X2n виробництво   Xi1   Xi2   Xik   Xin   I квадрант Xnl   Xn2   Xnk   Xnn	Y11   Y12   X1   Y21   Y22   X2   Yn1   Yn2   Xn   Yi1   Yi2   Xi   II квадрант	I+II квадранти
всього валова Чиста продукція продукція чист. доход	ОСТЬ V1     V2   Vk   Vn   m1   m2   mk   mn   X1   X2   Xk   Xn III квадрант   I+III квадранти	V1кон   V2кон IV квадрант m1кон   m2кон   x

 

Материальні оплата чистий витрати праці прибуток

 

 

 

 

Вартісний баланс разом з рівняннями

_n __

x_i= ∑x_ik+y_i (i=1,n),

^k=1

кожне з яких представляє розподілення продукції даної галузі по всім галузям, допускає побудову рівнянь в формі споживання продукції

_n __

x_k=∑x_ik + V_k + m_k (k=1,n),

_n ⁱ⁼¹

где ∑x_ik — матеріальні витрати k-ї споживаючої галузі,

ⁱ⁼¹

V_k + m_k — її чиста продукція (V_k— сума оплати праці, m_k — чистий прибуток).

Підставляючи в попереднє рівняння відношення отримаємо:

_n

x_i - ∑a_ik x_k=y_i(i=1,n).

^k=1

Систему рівнянь МОБ запишемо в матричній формі:

(Е - А) X = Y,

 

де Е — одинична матриця,

А — матриця прямих витрат,

X і Y — матриці-стовбці.

x₁ y₁

x₂ y₂

X= ... , Y= … .

x_n y_n

 

 

Ця система рівнянь називається економіко-математичною моделлю міжгалузевого балансу, або моделлю Леонтьєва.

Модель міжгалузевого балансу дозволяє вирішити наступні питання:

1) визначити об’єм кінцевої продукції галузей у₁, у₂, ..., у_n по заданим об’ємам валової продукції х₁ х₂, ..., х_n;

2) по заданій матриці коефіцієнтів прямих витрат А визначити матрицю коефіцієнтів повних витрат Р = (Е - А)^-1, елементи якої слугують показниками для планування розвитку галузей;

3) визначити об’єми валової продукції галузей х₁, х₂, ..., х_n по заданим об’ємам кінцевої продукції у₁, у₂, ..., у_n;

4) по n заданим об’ємам кінцевої чи валової продукції галузей х₁, у₂, х₃, у₄, ..., х_n визначити кількість n об’ємів, що залишились.

Прямі витрати відіграють в складанні балансу виключно важливу роль. Вони слугують важливою економічною характеристикою, без знання якої планування народного господарства не уявляється можливим.

Однак, прямі витрати не відображають в повному розмірі складні кількісні взаємозв’язки, що спостерігаються в народному господарстві. Зокрема, йдеться про протилежні зв’язки, що мають далеко не мало важливе значення. Воно виникають в процесі проміжних операцій і в деяких випадках можуть перевищувати прямі витрати.

Система рівнянь міжгалузевого балансу в матричній формі була представлена в вигляді:

(Е - А) X= У.

Нехай матриця Р = (Е — А) ^-1,

де Р = (Р_ik), тоді рівняння запишеться:

 

(E -А)^-1 = (Е - А) X = (Е - А)^-1 Y,

так як (E-A)^-1 (E-A) = E і EX = X, то X = (Е - А)^-1 У,

иабо X = РY.

Тобто об’єми виробництва галузі Х_i визначаються як: X = РY

по заданим величинам кінцевого продукту споживання Y і матриці Р, яку називають матрицею коефіцієнтів повних витрат. Її елементи включають не тільки витрати і-ї продукції, необхідної для створення одиниці к-ї продукції, але й витрати, необхідні для створення в кожній галузі одиниці кінцевої продукції.

Отже, повні витрати Р_ik включає як прямі, так і непрямі (Р_ik — - а_ik) витрати. Очевидно, що завжди Р_ik ≥ а_ik.

Матриця коефіцієнтів повних витрат є сумою висхідного матричного ряду:

Р = (Е - А)^-1 = Е + А + А² + А³ + ... + А^m + ...

Матриці А², А³, ..., А^m називаються коефіцієнтами непрямих витрат.

Валовий випуск к-ї галузі х_k визначається як

 

X_k=P_k1y₁+P_k2y₂+P_k3y₃+…=P_kY (k=1,n).

 

 

Розглянемо приклад складання міжгалузевого балансу виробництва і розподілення продукції для 3-х галузевої економічної системи, заданої матрицею коефіцієнтів прямих витрат А і вектором кінцевої продукції Y:

0,3 0,25 0,2 56

A = 0,15 0,12 0,03 , Y = 20 .

0,1 0,05 0,08 12

 

Знайти коефіцієнти повних витрат, планові об’єми валової продукції X = (х₁, х₂, х₃); величину міжгалузевих потоків х_ik (1 = 1,2,3; к = 1,2,3); матрицю непрямих витрат; по заданому вектору ∆У визначити зміну плану ∆Х.

Знаходимо матрицю (Е — А):

1 0 0 0,3 0,25 0,2 0,7 -0,25 -0,2

K = E – A = 0 1 0 - 0,15 0,12 0,03 = -0,15 0,88 -0,03

0 0 1 0,1 0,05 0,08 -0,1 -0,05 0,92

 

Для визначення матриці повних витрат:

Перший спосіб знаходження матриці K^-1=(E - A)^-1.

0,7 -0,25 -0,2

|K|= -0,15 0,88 -0,03 = 0,511.

-0,1 -0,05 0,92

 

 

Так як K≠ 0, існує матриця K^-1= P обернена заданій. Знаходимо алгебраїчні доповнення до елементів матриці К:

 

0,88 -0,03 -0,15 -0,03

K₁₁= (-1)² -0,05 0,92 = 0,808; K₁₂= (-1)³ -0,1 0,92 = 0,141;

-0,15 0,88 -0,25 -0,2

K₁₃= (-1)⁴ -0,1 -0,05 = 0,096; K₂₁= (-1)³ -0,95 0,92 = 0,24;

0,7 -0,2 0,7 -0,25

K₂₂= (-1)⁴ -0,1 0,92 = 0,624; K₂₃= (-1)⁵ -0,1 -0,05 = 0,06;

 

-0,25 -0,2 0,7 -0,2

K₃₁= (-1)⁴ 0,88 -0,03 = 0,184; K₃₂= (-1)⁵ -0,15 -0,03 = 0,051;

0,7 -0,25

K₃₃= (-1)⁶ -0,15 0,88 = 0,579;

 

З алгебраїчних доповнень складаємо транспоновану матрицю і, поділивши її на |K|, отримуємо обернену матрицю K^-1:

0,808 0,24 0,184 1,580 0,469 0,359

P = K^-1= 0,141 0,624 0,051 : 0,511 = 0,276 1,220 0,100 .

0,096 0,06 0,579 0,187 0,117 1,131

 

 

Другий спосіб знаходження оберненої матриці K^-1 за допомогою жорданових виключень.

Складаємо таблицю

Таблиця

	x1	х2	х3
b1=	0,7	-0,25	-0,2
b2=	-0,15	0,88	-0,03
b3=	-0,1	-0,05	0,92

 

 

Здійснюємо послідовно 3 кроки жорданових виключень, міняючи місцями b_i і х_k

1,580 0,469 0,359

P = K^-1= 0,276 1,220 0,100 .

0,187 0,117 1,131

 

Знаходимо об’єм виробництва галузей:

1,580 0,469 0,359 56 102,197

X = PY = 0,276 1,220 0,100 · 20 = 41,047 .

0,187 0,117 1,131 12 26,383

 

Отже:

х₁ = 102,2; х₂ = 41,0; х₃ = 26,4.

Для складання балансу розраховуємо міжгалузеві потоки виробництва по формулі (3) :

x₁₁= 0,3·102,2 = 30,7; х₂₁ = 0,15·102,2 = 15,3; х₃₁ = 0,1·102,2 = 10,2;

x₁₂ = 0,25·41,0 = 10,2; х₂₂ = 0,12·41,0 = 4,9; х₃₂ = 0,05·41,0 = 2,1;

x₁₃ = 0,2·26,4 = 5,3; х₂₃ = 0,03·26,4 = 0,8; х₃₃ = 0,08·26,4 = 2,1.

 

Результати розрахунків представимо в вигляді міжгалузевого балансу.

 

Таблиця

Споживаючі Виробля -галузі ючі галузі				Кінцева продукція	Валова продукція
	30,7	10,2	5,3		102,2
	15,3	4,9	0,8		41,0
	10,2	2,1	2,1		26,4
Чиста продукція	46,0	23,8	18,2	—	—
Валова продукція	102,2	41,0	26,4	—	169,6

 

Матриця непрямих витрат матиме вигляд:

1,580 0,469 0,359 0,3 0,25 0,2 1 0 0 0,280 0,219 0,159

C = 0,276 1,220 0,100 - 0,15 0,12 0,03 - 0 1 0 = 0,126 0,100 0,070

0,187 0,117 1,131 0,1 0,05 0,08 0 0 1 0,087 0,067 0,051

 

Визначаємо зміну плану ∆Х, що знадобиться при збільшенні кінцевого випуску продукції 1-ї галузі на 20, 2-ї — на 10 и 3-й — на 5 (одиниць).

1,580 0,469 0,359 20 38,085

∆X = P∆Y = 0,276 1,220 0,100 × 10 = 18,220 .

0,187 0,117 1,131 5 10,565

 

Тобто, необхідно збільшити валовий випуск 1-ї галузі на ∆х₁ = 38,1, 2-ї галузі на ∆х₂ = 18,2 и 3-й галузі на 10,6 (одиниць).