Реферат Курсовая Конспект
Базис в векторном пространстве. - раздел Образование, КООРДИНАТЫ ТОЧКИ Мы Использовали Понятие Базис Применительно К Двумерным И Трехмерным Векторам...
|
Мы использовали понятие базис применительно к двумерным и трехмерным векторам как систему, соответственно, двух или трех взаимно ортогональных векторов единичной длины: в случае векторов на плоскости и в случае векторов в пространстве.
Однако в качестве базиса на плоскости могут служит любые два ненулевых вектора плоскости, не лежащие на одной прямой, так как любой вектор на плоскости может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса: . Действительно, сравнивая координаты векторов в левой и правой частях последнего равенства, мы сведем задачу определения коэффициентов к решению линейной системы из двух уравнений с ненулевым главным определителем.
В качестве базиса в трехмерном пространстве могут служить любые три ненулевых вектора пространства, не лежащие в одной плоскости, так как любой вектор в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации . Коэффициенты могут быть определены как решение линейной системы из трех уравнений с ненулевым главным определителем.
Вообще, базисом в пространстве векторов называется такой минимальный набор из ненулевых векторов этого пространства, что любой вектор данного пространства может быть представлен как линейная комбинация векторов базиса. Количество векторов в базисе определяет размерность пространства.
Линейные отображения.
Линейным отображением векторного пространства в векторное пространство называется такое отображение, что для любых двух векторов и из пространства и любых двух вещественных чисел и справедливо:
.
Любое линейное отображение -мерного пространства в -мерное задается некоторой матрицей размера и наоборот, любая матрица размера задает линейное отображение -мерного пространства в -мерное.
Действительно, возьмем произвольную матрицу размера .Ее можно умножить на -мерный вектор , рассматриваемый в вида матрицы-столбца размером . Результатом умножения будет матрица-столбец размером , то есть, -мерный вектор . Имеем , где
, , .
То, что отображение, задаваемое умножением вектора на матрицу, является линейным, следует из свойств сумм и произведений матриц.
В частности, линейное отображение -мерного пространства на множество вещественных чисел (одномерное пространство) задается матрицей-строкой размера .
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
Точка на прямой Точка на плоскости Произвольная точка M...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Базис в векторном пространстве.
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов