Умножение матрицы на число

Умножение матрицы на число (обозначение: ) заключается в построении матрицы , элементы которой получены путём умножения каждого элемента матрицы на это число, то есть каждый элемент матрицы равен

Свойства умножения матриц на число:

§ 1. 1A = A;

§ 2. (λβ)A = λ(βA)

§ 3. (λ+β)A = λA + βA 4. λ(A+B) = λA + λB

3) Определитель и его геометрический смысл. Определяющие свойства определителя.

Если строки матрицы размера n*n рассматривать, как векторы пространства , то преобразования строк не изменяющие значения определителя не меняют также и объем n-мерного параллелепипеда "натянутого" на векторы - сроки. И действительно - определитель - это объем со знаком (ориентированный объем)

4) Ранг системы векторов и матрицы. Различные определения ранга, их эквивалентность.
Несуществование "обратных" матриц для неквадратных матриц.

Рангом системы строк (столбцов) матрицы с строк и столбцов называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов). Несколько строк (столбцов) называются линейно независимыми, если ни одна из них не выражается линейно через другие. Ранг системы строк всегда равен рангу системы столбцов, и это число называется рангом матрицы.

Ранг матрицы — наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Базисный минор матрицы — любой ненулевой минор матрицы порядка , где .

Существует несколько методов нахождения ранга матрицы:

§ Метод элементарных преобразований

Ранг матрицы равен числу ненулевых строк в матрице после приведения её к ступенчатой форме при помощи элементарных преобразований над строками матрицы.

§ Метод окаймляющих миноров

Пусть в матрице найден ненулевой минор -го порядка . Рассмотрим все миноры -го порядка, включающие в себя (окаймляющие) минор ; если все они равны нулю, то ранг матрицы равен . В противном случае среди окаймляющих миноров найдется ненулевой, и вся процедура повторяется.

Обратная матрица для неквадратной матрицы не существует т.к.

Для квадратной матрицы обратная существует тогда и только тогда, когда она невырожденная, то есть её определитель не равен нулю.

У неквадратной же матрицы определитель не существует, а значит и обратной матрицы к неквадратной нет.