Линейные преобразования. Их запись матрицами.

 

1) Линейные преобразования. Их запись матрицами.

Пусть -- -мерное линейное пространство, в котором задан базис ,

-- линейное преобразование. Возьмем произвольный вектор . Пусть -- его координатный столбец. Координатный столбец вектора обозначим .

Запишем разложение вектора по базису пространства . Для образа этого вектора получим

(19.2)

Векторы имеют какие-то координатные столбцы, обозначим

их , , ..., соответственно. В этой записи первый индекс показывает номер координаты, а второй индекс -- номер вектора. Соответственно,

Подставим это выражение в равенство (19.2) и, изменим порядок суммирования

Это равенство означает, что -той координатой вектора служит .

Составим матрицу из координатных столбцов векторов , ...,

Вычислим произведение матрицы на столбец

Мы видим, что -ый элемент столбца совпадает с -ой координатой вектора . Поэтому

(19.3)

Это означает, что в выбранном базисе действие любого линейного преобразования сводится к умножению матрицы на координатный столбец вектора.

Матрица называется матрицей линейного преобразования . Еще раз напомним, как она составлена: первый столбец является координатным столбцом образа первого базисного вектора, второй столбец -- координатным столбцом образа второго базисного вектора и т.д.

 

2) Закон умножения матриц как композиций линейных преобразований. Ассоциативность умножения

Операции над матрицами

Умножение матрицы на число

Свойства умножения матриц на число: § 1. 1A = A;

Решение систем линейных уравнений. Однородные и неоднородные уравнения. Различные методы решения

или: .

Однородные системы

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным.

Неоднородные системы

— её расширенная матрица.   § Ме́тод Га́усса[1] — классический метод решения системы линейных уравнений (СЛУ). Это метод…

Пример

Система линейных уравнений:

Определители:

 

Решение:

 

 

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где — основная матрица системы, и — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на — матрицу, обратную к матрице :

Так как , получаем . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность

матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

 

6) Основная теорема арифметики.

Основная теорема арифметики

Любое составное число можно единственным (с точностью до перестановки сомножителей) образом представить в виде произведения простых чисел

Доказательство существования разложения

Доказательство единственности разложения

  7) Комплексные числа, модуль и аргумент. Умножение, сложение, деление,…

Доказательство

База. Для a=0, и делится на p. Переход. Пусть утверждение верно для a=k. Докажем его для a=k+1.

Теорема о гомоморфизме

До победы коммунизма Изоморфен факторгруппе По ядру гомоморфизма