Численные методы интегрирования. Квадратные формулы. Формула прямоугольников. Формула трапеций. Формула Симпсона.

 

Дана функция у = f(х), необходимо найти интеграл на отрезке АВ.

Если по интегралу функция f(х) задана аналитически, если эта функция непрерывна на отрезке АВ, если известна первообразная F(x), тогда:

ò_a ^b f(x) d_x = F(b) – F(a).

На практике при решении прикладных задач числительные методы интегрирования применяются в следующих случаях:

1. Функция задана таблично, т.е. y_i = f(x_i).

2. Функция задана аналитически, но её первообразная F(x) не выражается через элементарные функции.

3. Функция задана аналитически, имеет первообразную, но её определение слишком сложно.

В числительных методах интегралов не используется нахождение первообразной, основу алгоритма составляет геометрический смысл определяем интеграл, выражающего площадь криволинейной трапеции под интеграл кривой на АВ.

Суть всех числительных методов интегрирования состоит в приближенном вычислении указанной площадью, поэтому все числительные методы интегрирования являются приближенными методами.

Во всех числительных методах при вычислении интеграла выполняются следующие действия:

1. Подынтегральная функция f(х) апроксимируется интерполяционным многочленом.

2. На практике, чтобы не иметь дело с ??? высоких степеней, весь отрезок АВ делится на части.

3. Строится интеполяционный многочлен не для всего отрезка АВ, а для его частей.

4. Вычисляются приближенно площади частичных трапеций.

5. В результате, приближенное значение интеграла равно сумме площадей частичных трапеций.

 

Нахождение приближенных значений интеграла называется квадратурой, а формулы для приблизительного вычисления интеграла, называется квадратурными формулами.

Величина R (x) = ò_a ^b f(x) d_x - _i называется остаточным членом или погрешностью квадратурной формулы.

Наиболее распространены следующие методы численного интегрирования:

1. Если в каждой части деления отрезка АВ подынтегральная функция апроксимируется многочленом нулевой степени (прямой параллельной оси абсцисс), тогда квадратурная формула называется формулой прямоугольника.

2. Если в каждой части деления отрезка АВ подынтегральная функция апроксимируется многочленом первой степени (прямой, проходящей через соседние угловые точки), тогда квадратурная формула называется формулой трапеции.

3. Если в каждой части деления отрезка АВ подынтегральная функция апроксимируется многочленом второй степени (квадратичная парабола), тогда квадратурная формула называется формулой Симпсона.

Метод прямоугольника.

Пусть задана функция f(x) на отрезке АВ. Разделим отрезок АВ на n - равных частей, h = (b – a) / n - длина одной части.

На каждом участке, через угловые точки проводим многочлен нулевой степени. В результате вся кривая подынтегральной функции f(x) на отрезке АВ заменяется ломанной линией, отрезки которой в каждой части деления параллельные оси ОХ, а вся площадь под кривой f(x) заменяется суммой площадей частичных прямоугольников.

В методе «левых прямоугольников» высота каждого частичного прямоугольника равна значению функции f(x) в левых концах отрезка [x_i; x_i+1].

В результате квадратурная формула имеет следующий вид:

I_{n = = =} ((b-a)/n) *

 

 

В методе «правых прямоугольников» высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в правых концах отрезка [x_i; x_i+1].

Квадратурная формула имеет следующий вид:

I_{n = = =} ((b-a)/n) *

 

 

Блок-схема алгоритма:

 

 

Подынтегральная функция задана аналитически, алгоритм автоматически выбирает шаг

(n = ).

C = 0 – метод левых прямоугольников

С = 1 – метод правых прямоугольников

S₁ – предыдущее значение интеграла

S – текущее значение интеграла.

 

Второй вариант метода прямоугольника.

Функция задана таблично в неравномерно стоящих точках, в этом случае квадратурные формулы имеют вид:

I _n =

 

I _n =

 

Метод трапеции

В этом методе вся кривая подынтегральной функции f(x) на отрезке АВ заменяется ломанной линией, отрезки которой в каждой части деления соединяет две соседние узловые точки.

Найдем площади частичной трапеции

S₀ = 1/2 h ( y₀ + y₁ )

S₁ = ½ h ( y₁ + y₂ )

…………………..

S_n-1 = ½ h ( y_n-1 + y_n ).

В результате квадратичная формула метода трапеции имеет следующий вид:

I = = h/2

I = h/2(y₀ + y_n +2

 

Блок –схема:

 

 

 

Метод Симпсона

В этом методе вся подынтегральная функция f(x) на отрезке АВ заменена кусочно-непрерывной, состоящей из отрезков квадратичных парабол.

В результате значение интеграла равна сумме всех площадей под квадратичными параболами. Т.к. для построения квадратичной параболы необходимо учесть три узла, тогда каждая часть деления в методе Симпсона равна 2h. В результате вычислений площадь под квадратичной параболы на отрезке [x₀; x_z] равна:

S₁ = h/3 (y₀ + 4y₁ + y₂)

На участке [x_{i – 1} ; x_{i + 1} ] площадь равна: S_k = h/3 (y_{i – 1} + 4 y_i + y _{i + 1}). Суммируя площади под квадратичными параболами на всех участках деления длиной 2h, получаем квадратичную формулу по методу Симпсона: I = h/3

 

Блок –схема: