Числительное дифференцирование. Формулы нахождения производной. Вычисление второй производной.

Числительное дифференцирование применяется тогда, когда функцию трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например если функция задана таблицей. Кроме того формулы числительной дифференциации широко используют при разработке вычислительных методов решения многих задач (реш. диф. уравнений, поиск решения нелинейных уравнений, поиск точек экстремума функций). По определению f ‘ (x) = lim приближенно можно записать: f ‘ (x) » .

Данная аппроксимация будет тем точнее, чем меньше Dx.

Для двух точечных методов при вычислении производной используют значение функции в двух точках.

Приращение аргумента задается тремя способами: откладывая DХ вправо, влево, в обе стороны от исследуемой точки, получается 3 двухточечных метода численного дифференцирования.

1. Вычисление производной с разностью вперед:

f ‘ (x₀) » = (1)

2. Разность назад:

3. f ‘ (x₀) » = (2)

Геометрический смысл.

Числительное значение tg угла a, образованной касательной к графику у = f(x) и осью абсцисс, показывает точное значение производной. Расчеты по формулам (1) и (2) показывают, что по мере уменьшения Dx точность расчета улучшается. Однако, после некоторого значения Dx начинается поделение точности. Это связано с тем, что вычисление выполнено с ограниченной точностью и тогда DХ мало, а f₁ и f₀ отличаются очень слабо, тогда в формулах (1) и (2) возникает неопределенность вида: 0/0, которая может быть большим или малым в зависимости от соотношения числителя и знаменателя. Отсюда следует, числительное дифференцирование является внутренние неустойчивым процессом, в смысле отсутствия определенного предела при DХ → 0.

Вследствие симметрий формул (1) и (2) более точным будет аппроксимация производной равной сред. арифем. формул (1) и (2):

f ‘ (x₀) = = (3)

Выведем формулу вычисления второй производной.

Представим как f “ = (f ‘)’ и применяя формулу (3), получим: f “ (x₀) = (f ‘(x₀))’ = = ^’ = / 2Dx = - =