Интерполяция функций многочленами. Построение интерполяционного многочлена с помощью системы линейных уравнений. Интерполяционный метод Лагранжа.

 

Любому специалисту в своей практической и теоретической деятельности приходится изучать зависимость между различными параметрами исследуемых объектов, процессов или систем.

Из всех способов задания зависимости параметрами наиболее удобным является аналитический способ виде функций.

Но в практической деятельности специалист часто получает зависимость между интересующих его параметрами экспериментально. Результаты эксперимента заносят в таблицу, т.е. получена табличная функция. В след за этим возникают различные задачи по обработке данных.

Аппроксимация опытных данных.

Проведем эксперимент, в результате которого получена табличная функция. Y_i = f(x_i), i = o, 1, …, n, т.е. дана таблица в которой значение x_i расположены в порядке возрастания в соответствии со значением.

 

i	x	y
	X0	Y0
	X1	Y1
	X2	Y2
…	…	…
n	xn	yn

Точки координат x_i и y_i называют узловыми точками.

Необходимо для этих опытных данных решить задачу аппроксимации.

Сущность аппроксимации опытных данных состоит в нахождении аналитического выражения некоторой функции F(x) (аппроксимирование кривой), которая приближала бы полученную табличную функцию.

Аппроксимацию опытных данных можно провести с помощью интерполяционного многочлена степени n.

P_n (x) = a₀ xⁿ + a₁ x^n-1 + … + a_n . В этом случае аппроксимированная кривая проходит через все узловые точки. Однако этот метод имеет недостатки:

1. Точность аппроксимации гарантируется лишь в небольшом интервале (x₀; x_n) при количестве точек не более 7 – 8-ми.

Значение функции в узлах должно быть задано с большой точностью. Однако, как бы точно не проводился эксперимент, в результатах неизбежны погрешности.

Интерполирование функций.

Задача интерполирования функции состоит в том, чтобы найти значение функции заданной таблично в любой промежуточной точке с аргументом X_k , причем X_k –ые являются узлом табличной функции и лежит в промежутке (Х₀; Х_п).

Эта задача решается с помощью выражения некоторой функции Р_х, которая приближала бы заданную табличную функцию (т.е. в узловых точках [_i принимала бы значения y_i).

Искомую функцию Р_х будем выбирать из класса алгебраических многочленов.

Степень многочлена n зависит от числа узловых точек. P_n (x) = a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … + a_n (общий вид). Назовем этот многочлен интерполяционным. Интерполирование с помощью алгебраических многочленов называется параболическим интерполированием.

Построение интерполяционного многочлена.

Для этого построения необходимо построить систему нелинейных уравнений, которые может быть получены на основании того, что многочлен проходит через все узловые точки. P_n (x_i) = y_i

В результате имеем систему:

Порядок системы равен «n» x₀, x₁, x_n, y₁, y_n известны и заданы в табличной функции. Далее получаем многочлен использующий для решения задач интерполирования.

Интерполяционный многочлен может быть построен и другими методами, напрмер, способом Лагранжа, Ньютона, …

Построение интерполяционного многочлена по формуле Лагранжа.

Многочлен имеет следующий вид:

L_n(x) = * y₀ + *y₁ + * y₂ + … + *y_n

Многочлен L_n является интерполяционным многочленом, т.е. в узловых точках принимает значение таблицы. Свернув формулу Лагранжа получим: Ln (x) = y_i ,

где B_j =

Блок – схема алгоритма.

Алгоритм метода Лагранжа не предусматривает получение многочлена в явном виде, а находит значение в промежутках.

D – значение аргумента в промежутке

N – количество узловых точек.