Метод Гаусса-Зейделя - раздел Образование, Численные методы Это Наиболее Распространённый Из Итерационных Методов. В Нём Каждое Приближен...
Это наиболее распространённый из итерационных методов. В нём каждое приближение вычисляется по формуле:
, ,
где – номер корня,
– порядок системы,
– номер текущей итерации.
Количество итераций зависит от требуемой точности, т.е. итерационный процесс продолжаем до тех пор, пока все не станут достаточно близки к . Критерий близости используется абсолютный или относительный.
Критерий близости можно, например, задать в следующем виде:
(1) , где – заданная допустимая погрешность.
Здесь определяется максимальное значение разности для всех . При выполнении критерия итерационный процесс следует остановить.
Этот критерий по абсолютным отклонениям можно заменить критерием по относительным разностям т.е. критерий близости будет выглядеть следующим образом:
(2)
При выполнении либо условия (1), либо условия (2) итерационный процесс метода Гаусса-Зейделя называется сходящимся.
Достаточными условиями сходимости итерационного процесса по методу Гаусса-Зейделя являются следующие условия:
1. Модули диагональных коэффициентов для любого уравнения системы должны быть не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов: , . При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго.
2. Система линейных уравнений должна быть неприводима.
Заметим, что диагональные коэффициенты должны быть отличными от нуля. Поэтому данный алгоритм необходимо дополнить алгоритмом поиска ненулевого ведущего элемента.
Блок-схема метода Гаусса-Зейделя
Блок-схема приведена на рис. 3.4 a. и 3.4 б. На первом рисунке изображены дейсствия, связанные с вводом исходных данных и подготовкой к вычислениям. Начальное приближение принимается равным нулю, а счётчику количества итераций (ITER) присваивается 1.
Переменная BIG используется для того, чтобы определять наибольшее значение разности между и . Сначала этой переменной присваивается значение нуль, а затем с ней сравниваются абсолютные значения разностей .
Рис. 3.4.a. Блок-схема метода Гаусса-Зейделя
Рис.3.4.б. Блок-схема метода Гаусса-Зейделя (продолжение)
Если какая-либо разность оказывается по абсолютной величине больше BIG, то прежнее значение BIG заменяется этой разностью. После вычисления всех наибольшая разность будет равна значению переменной BIG.
Затем в блок-схеме следует группа действий, с помощью которых вычисляется сумма всех членов уравнения, кроме диагонального. По ходу программы удобнее сначала вычислять и суммировать члены, стоящие перед диагональным (т.к. в них используются новые значения ), а уже потом – члены, идущие после него (т.к. в них используются старые значения ). Необходимо несколько усложнить логику, т.к. в первом и соответственно в последнем уравнениях отсутствуют элементы, стоящие соответственно до и после диагонального.
В правой части блок-схемы указана группа действий, начинающаяся с вычисления нового значения ; определяется максимальная разность и запоминается новое значение , которое вычисляется под именем TEMP.
Если это было не последнее уравнение, то мы увеличиваем индекс i и начинаем вычислять очередное приближение для следующего неизвестного. В случае последнего уравнения мы сравниваем максимальную разность с и печатаем результаты, если процесс сошёлся.
Но процесс в действительности не всегда сходится. Причины могут быть различные – от ошибок в программе до неверных исходных данных. Поэтому в начале программы было введено целое число MAX, которое определяет максимально допустимое число итераций. (Ориентировочно MAX = 50 для системы из 50 уравнений.) Тогда, если по какой-то причине процесс не сошёлся, ЭВМ не будет считать бесконечно долго.
Коломенский институт филиал... Государственного образовательного учреждения... высшего профессионального образования...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод Гаусса-Зейделя
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Коломна , 2013
УДК 004.4
ББК 32.97
П 78
Печатается в
соответствии с решением
учебно-методического совета Коломенского инстит
Лабораторная работа №1
Организация Windows-приложения в Delphi с использованием визуальных компонентов классов: TEdit, TLabel, TMemo, TButton. Программирование интерполяционных алгоритмов
Вычисление многочленов по схеме Горнера
При аппроксимации функции, а также в других задачах приходится вычислять значения многочлена (1.1). Если производить вычисления в “лоб”, то при больших степенях многочлена потребует
Исходные данные для выполнения работы
Задача 1
Написать программу для аппроксимации функции, заданной в виде таблицы (таблице 1.1) и представленной в описании работы, в соответствии с условием своего вар
Краткие сведения из теории
Численное интегрирование применяют в тех случаях, когда интеграл не удается вычислить в аналитическом виде или когда этот вид достаточно сложен. А также, когда нужно найти интеграл
Метод прямоугольников
По методу прямоугольников кривая подынтегральной функции заменяется ломанной линией, отрезки которой параллельны оси абсцисс. В данном методе используется кусочно-постоянное интерпо
Метод трапеций
Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции представляе
Метод Симпсона
В этом методе кривая подынтегральной функции заменяется кусочно-непрерывной линией, состоящих из отрезков квадратичных парабол, следовательно, в методе используется квадратичная инт
Порядок выполнения работы
1. Написать программу вычисления определенного интеграла в соответствии с номером варианта для своей задачи.
2. Объединить на форме элементы ввода с помощью объекта класса
Цель работы
1. Освоить программирование с визуальными компонентами табличного представления данных (StringGrid) для организации ввода/вывода матричных структур.
2. Изучение прям
Метод Гаусса
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений порядка :
Вычисление определителя
Легко вычисляется определитель треугольной матрицы: он равен произведению ее диагональных элементов.
Для приведения матрицы к прямоугольному виду используем прямой ход мето
Порядок выполнения работы
1. Изучить методы Гаусса и Зейделя, научиться их программировать по предложенным блок-схемам.
2. Изучить алгоритм поиска ненулевого ведущего элемента.
3. Составить
Краткие сведения из теории
Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и трансцендентными. Общая форма задания таких уравнений:
Метод бисекции
В методе бисекции (деления отрезка пополам) в качестве начального приближения корня
Метод хорд
В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения
Метод касательных
При уточнении корня по методу касательных (Ньютона) в точке начального приближения
Метод простой итерации
Уточнение корня по этому методу сводится к замене уравнения ему равносильным:
Краткие сведения из теории
Обыкновенным дифференциальным уравнением (далее – ОДУ) называется такое уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции
Метод Эйлера
Метод основан на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности
Метод Рунге-Кутта
Это очень распространённый явный одношаговый метод. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Приведём схему Рунге-Кутта 4-го порядка. Запишем ал
Решение дифференциальных уравнений высшего порядка
Методы, применяемые для численного интегрирования ОДУ 1-го порядка могут быть использованы для интегрирования систем ОДУ высшего порядка. Последние при этом должны быть приведены к
Порядок выполнения работы
1. Организовать многооконное приложение в Delphi следующей структуры: главная форма, содержащая интерфейс для общего управления проектом и две дочерних формы для а) управления решен
TButton
Кнопки TButton широко используются для управления программами.
Свойства компонента:
propertyCance
TCheckBox
Независимый переключатель TCheckBox используется для того, чтобы пользователь мог указать свое решение типа Да/Нет или Да/Нет/Не знаю. Это решение отражается в
TRadioButton
В отличие от TCheckBox, компоненты TRadioButton представляют собой зависимые переключатели, предназначенные для выбора одного из нескольких взаимоисключающих решений.
TListBox
С помощью компонента список (TListBox) пользователь может выбрать один или несколько его элементов. Если элементов много и они не умещаются в отведенной для них области, то а
TComboBox
Компонент поле со списком (TComboBox) объединяет возможности поля ввода и прокручиваемого раскрывающегося списка. Пользователь может или выбрать элемент списка или ввести ег
TStringGrid
Использование многими пользователями электронных таблиц типа Excel стало практически неотъемлемой частью применения компьютеров. В системе Delphi 5 имеются два компонента, которые п
TMainMenu
Компонент класса TMainMenu определяет главное меню формы. На форму можно поместить сколько угодно объектов этого класса, но отображаться в полосе меню в верхней части формы б
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
вычисляется по формуле:
, 
,
– номер корня,
– порядок системы,
– номер текущей итерации.
. Критерий близости используется абсолютный или относительный.
, где 
– заданная допустимая погрешность.
, 
. При этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго.
должны быть отличными от нуля. Поэтому данный алгоритм необходимо дополнить алгоритмом поиска ненулевого ведущего элемента.
.
и печатаем результаты, если процесс сошёлся.
Новости и инфо для студентов