Метод Эйлера - раздел Образование, Численные методы
Метод Основан На Разложении Функции ...
Метод основан на разложении функции в ряд Тейлора в окрестности :
.
Если мало, то члены, содержащие во второй и более высоких степенях, являются малыми и ими пренебрегают. Тогда
.
Значение находим из дифференциального уравнения, подставив в него начальные условия. Таким образом можно получить приближённое значение зависимой переменной при малом смещении от номинальной точки. Этот процесс можно продолжать, используя соотношение
, , (5.4)
делая сколь угодно много шагов.
В результате получен простейший алгоритм решения задачи Коши, который называется методом Эйлера, или методом ломаных. Последнее связано с геометрической интерпретацией процесса: искомая функция заменяется ломаной линией, представляющей собой отрезки касательных к этой функции в узлах .
При достаточно малой величине шага метод Эйлера даёт решение с большой точностью, т.к. погрешность решения близка к на каждом шаге интегрирования. На рис. 5.1 приведена блок-схема решения задачи Коши методом Эйлера.
Рис. 5.1 Блок-схема метода Эйлера для задачи Коши
5.1.2. Метод Эйлера с пересчётом
Значение правой части уравнения (5.2) возьмём равным среднему арифметическому между и . Используя схему метода Эйлера (5.4), получим:
, (5.5)
Это неявная схема, т.к. входит и в правую и левую части. Здесь применяют один из итерационных методов. Но если имеется хорошее начальное приближение , то можно построить решение с использованием двух итераций следующим образом: считая начальным приближением, вычисляем первое приближение по формуле метода Эйлера (5.4):
.
Новое значениеподставляем вместо в (5.5) и находим окончательное значение :
. (5.6)
Это модификация метода Эйлера, называемая методом Эйлера с пересчётом.
Метод Эйлера с пересчётом можно получить и иначе, используя разложение функции в ряд Тейлора:
.
Аппроксимируем вторую производную с помощью отношения конечных разностей:
.
Заменяя и , где найдено по методу Эйлера, приходим к формуле метода Эйлера с пересчётом. Здесь мы получили оценку погрешности метода: на каждом шаге локальная погрешность равна , суммарная – имеет порядок .
Для метода Эйлера с пересчётом рационально вводить автоматический выбор шага в каждом узле: если величина , то шаг увеличиваем, если , то шаг уменьшаем.
На рис. 5.2 приведена блок-схема метода Эйлера с пересчётом.
Коломенский институт филиал... Государственного образовательного учреждения... высшего профессионального образования...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Метод Эйлера
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Коломна , 2013
УДК 004.4
ББК 32.97
П 78
Печатается в
соответствии с решением
учебно-методического совета Коломенского инстит
Лабораторная работа №1
Организация Windows-приложения в Delphi с использованием визуальных компонентов классов: TEdit, TLabel, TMemo, TButton. Программирование интерполяционных алгоритмов
Вычисление многочленов по схеме Горнера
При аппроксимации функции, а также в других задачах приходится вычислять значения многочлена (1.1). Если производить вычисления в “лоб”, то при больших степенях многочлена потребует
Исходные данные для выполнения работы
Задача 1
Написать программу для аппроксимации функции, заданной в виде таблицы (таблице 1.1) и представленной в описании работы, в соответствии с условием своего вар
Краткие сведения из теории
Численное интегрирование применяют в тех случаях, когда интеграл не удается вычислить в аналитическом виде или когда этот вид достаточно сложен. А также, когда нужно найти интеграл
Метод прямоугольников
По методу прямоугольников кривая подынтегральной функции заменяется ломанной линией, отрезки которой параллельны оси абсцисс. В данном методе используется кусочно-постоянное интерпо
Метод трапеций
Метод трапеций использует линейную интерполяцию, т.е. график функции представляе
Метод Симпсона
В этом методе кривая подынтегральной функции заменяется кусочно-непрерывной линией, состоящих из отрезков квадратичных парабол, следовательно, в методе используется квадратичная инт
Порядок выполнения работы
1. Написать программу вычисления определенного интеграла в соответствии с номером варианта для своей задачи.
2. Объединить на форме элементы ввода с помощью объекта класса
Цель работы
1. Освоить программирование с визуальными компонентами табличного представления данных (StringGrid) для организации ввода/вывода матричных структур.
2. Изучение прям
Метод Гаусса
Пусть дана система линейных алгебраических уравнений порядка :
Вычисление определителя
Легко вычисляется определитель треугольной матрицы: он равен произведению ее диагональных элементов.
Для приведения матрицы к прямоугольному виду используем прямой ход мето
Метод Гаусса-Зейделя
Это наиболее распространённый из итерационных методов. В нём каждое приближение вычисляется по ф
Порядок выполнения работы
1. Изучить методы Гаусса и Зейделя, научиться их программировать по предложенным блок-схемам.
2. Изучить алгоритм поиска ненулевого ведущего элемента.
3. Составить
Краткие сведения из теории
Нелинейные уравнения бывают алгебраическими и трансцендентными. Общая форма задания таких уравнений:
Метод бисекции
В методе бисекции (деления отрезка пополам) в качестве начального приближения корня
Метод хорд
В данном методе процесс итераций состоит в том, что в качестве приближений к корню уравнения
Метод касательных
При уточнении корня по методу касательных (Ньютона) в точке начального приближения
Метод простой итерации
Уточнение корня по этому методу сводится к замене уравнения ему равносильным:
Краткие сведения из теории
Обыкновенным дифференциальным уравнением (далее – ОДУ) называется такое уравнение, которое содержит одну или несколько производных от искомой функции
Метод Рунге-Кутта
Это очень распространённый явный одношаговый метод. На его основе могут быть построены разностные схемы разного порядка точности. Приведём схему Рунге-Кутта 4-го порядка. Запишем ал
Решение дифференциальных уравнений высшего порядка
Методы, применяемые для численного интегрирования ОДУ 1-го порядка могут быть использованы для интегрирования систем ОДУ высшего порядка. Последние при этом должны быть приведены к
Порядок выполнения работы
1. Организовать многооконное приложение в Delphi следующей структуры: главная форма, содержащая интерфейс для общего управления проектом и две дочерних формы для а) управления решен
TButton
Кнопки TButton широко используются для управления программами.
Свойства компонента:
propertyCance
TCheckBox
Независимый переключатель TCheckBox используется для того, чтобы пользователь мог указать свое решение типа Да/Нет или Да/Нет/Не знаю. Это решение отражается в
TRadioButton
В отличие от TCheckBox, компоненты TRadioButton представляют собой зависимые переключатели, предназначенные для выбора одного из нескольких взаимоисключающих решений.
TListBox
С помощью компонента список (TListBox) пользователь может выбрать один или несколько его элементов. Если элементов много и они не умещаются в отведенной для них области, то а
TComboBox
Компонент поле со списком (TComboBox) объединяет возможности поля ввода и прокручиваемого раскрывающегося списка. Пользователь может или выбрать элемент списка или ввести ег
TStringGrid
Использование многими пользователями электронных таблиц типа Excel стало практически неотъемлемой частью применения компьютеров. В системе Delphi 5 имеются два компонента, которые п
TMainMenu
Компонент класса TMainMenu определяет главное меню формы. На форму можно поместить сколько угодно объектов этого класса, но отображаться в полосе меню в верхней части формы б
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов