Основные элементы системы MathCAD
Введение
Одной из основных областей применения ПК являются математические и научно-технические расчеты. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, решение уравнений, решение дифференциальных уравнений и т. д. Для решения таких задач имеется целый ряд различных математических пакетов, реализующих разнообразные численные методы, способных так же производить аналитические математические преобразования. Наиболее известными сегодня являются следующие пакеты: Mathematica (фирма Wolfram Research), Maple (фирма Waterloo Maple Inc), Matlab (фирма The MathWorks), MathCAD (фирма MathSoft Inc).
Пакет Mathcad популярен, пожалуй, более в инженерной, чем в научной среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартных математических обозначений, то есть документ на экране выглядит точно так же как обычный математический расчет. Для использования пакета не требуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematica или Maple. Пакет ориентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но имеет встроенный символический процессор Maple, что позволяет выполнять аналитические преобразования. В отличие от упомянутых выше пакетов, Mathcad является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд, имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики.
Система MathCAD существует в нескольких основных вариантах:
¨ MathCAD Standard – идеальная система для повседневных технических вычислений. Предназначена для массовой аудитории и широкого использования в учебном процессе;
¨ MathCAD Professional – промышленный стандарт прикладного использования математики в технических приложениях. Ориентирована на математиков и научных работников, проводящих сложные и трудоемкие расчеты.
¨ MathCAD Professional Academic – пакет программ для профессионального использования математического аппарата с электронными учебниками и ресурсами.
Меню File
New (Создать) — создание нового документа с очисткой окна редактирования;
Open (Открыть) — загрузка ранее созданного документа из диалогового окна;
Save (Сохранить) — запись текущего документа с его именем;
Page Setup — параметров страницы;
Print (Печать) — распечатка документа на принтере;
Print Preview (Просмотр) — предварительный просмотр документа;
Меню Edit
Cut (Вырезать) — перенос выделенной части документа в буфер обмена;
Copy (Копировать) — копирование выделенной части документа в буфер;
Paste (Вставить) — перенос содержимого буфера обмена в окно редактирования на указанное место;
Undo (Отменить) — отмена предшествующей операции редактирования
Меню Insert
Graph — выбор типа графика и его вставка графика в документ;
Matrix — вставка матрицы с выбором размерности;
Function — вставка функции из списка, появляющегося в диалоговом окне;
Unit — вставка единиц измерения;
Text Region — вставка текстового блока;
Page Break — вставка разрыва страницы;
Меню Format
Number — установка локального и глобального цифрового формата отображения;
Align Regions – Across (Выровнять по горизонтали) — блоки выравниваются по горизонтали;
Align Regions – Down (Выровнять вниз) — блоки выравниваются по вертикали, располагаясь сверху вниз.
Меню Math
Calculate — вычисление выражений по желанию пользователя расположенных ниже курсора;
Calculate Worksheet — вычисление всего документа;
Automatic Calculation — включение/отключение автоматического режима вычисления;
Optimization — включение/отключение оптимизации вычислений;
Options — установка системных переменных, выбор системы единиц измерения.
Меню Symbolics
Меню управления символьными преобразованиями.
Меню Window
Меню управления многооконным режимом работы.
Структурированные данные
Обращение к элементам массива
Стандартные функции
Классификация стандартных функций
Пакет MathCAD является мощной вычислительной системой за счет наличия огромного количества стандартных функций, которые можно классифицировать следующим образом:
1. математические (арифметические, тригонометрические, гиперболические, комплексные, специальные);
2. векторные и матричные (создания, объединения, работы со строками и столбцами, матричная алгебра, специальные функции);
3. статистические (вероятности, гистограммные, распределения);
4. аппроксимация и интерполяция (интерполяция, аппроксимация, регрессия, сплайны, линейное предсказание);
5. решение линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений и систем;
6. доступа к внешним данным (ввод/вывод структурированных и неструктурированных файлов).
Задание надписей в графиках
Панель меток Label (Надписи) позволяет вводить в рисунок дополнительные надписи. Эта панель появляется, если уже создан текущий график.
Для установки надписей служат небольшие окошки:
1. Title - установка титульной надписи к рисунку;
2. X-Axis - установка надписи по оси X;
3. Y-Axis - установка надписи по оси Y.
В разделе Title содержатся опции Above (Сверху) и Below (Снизу) для установки титульной надписи либо над рисунком, либо под ним. Кроме того, опция Show Title (Показать заголовок) позволяет включать или выключать отображение титульной надписи.
Графические установки по умолчанию
Панель Defaults (По умолчанию), служит для установки опций графиков Change to Defaults (Вернуть значения по умолчанию) и Use for Defaults (Использовать для значений по умолчанию).
Рекомендации по использованию
Обычно функция Rkadapt благодаря автоматическому изменению шага решения дает более точный результат, но по скорости вычислений она проигрывает функции rkfixed, хотя если решение меняется медленно, она может привести к заметному уменьшению числа вычислений. Поэтому функция Rkadapt наиболее пригодна для решения ОДУ дающих медленно меняющееся решения.
Примеры решения дифференциальных уравнений
1.1. Задаем вектор начальных условий:
1.2.
1.3.
2. Решим дифференциальное уравнение второго порядка:
.
Преобразуем уравнение в систему ОДУ первого порядка, решенных относительно первой производной:
3. Решим систему линейных уравнений первого порядка:
.
4. Решим систему двух линейных уравнений второго порядка:
с начальными условиями .
Основные программные операторы
Для создания программных модулей используются следующие основные элементы:
Название | Описание |
Add Line | Создание и расширение программного модуля; |
¬ | Внутреннее локальное присваивание. |
if | Оператор условного выражения. Общий вид: выражение if условие. В случаи выполнения условия возвращается значение выражения. Совместно с этим оператором часто используются break и otherwise. |
for | Wиклов с заданным числом повторений. Общий вид: for Var ÎNmin..Nmax. Цикл можно задать диапазоном, множеством, вектором, возможна их комбинация. Переменную цикла Var можно использовать в программе. |
while | Цикл с предусловием, действующий пока условие истинно. Общий вид: while условие. Тело цикла записывается на месте шаблона. |
otherwise | Оператор "иначе", обычно используется совместно с if для выполнения действий в случаи не выполнения условия. |
break | Вызывает прерывание работы программного блока. Обычно используется с операторами циклов и условия, для досрочного выхода из цикла или программного блока. |
continue | Используется для продолжения работы цикла после прерывания. Обычно используется совместно с операторами задания циклов, обеспечивает прерывание и возврат в начало цикла. |
return | Прерывает выполнение программы и возвращает значение своего операнда. |
on error | Оператор обработки ошибок. Общий вид: выражение1 on error выражение2. Если при выполнении выражения1 возникла ошибка, то выполняется выражение2. Для обработки ошибок полезна функция error(S), которая выдает текстовое сообщение (S) и прерывает работу программного блока. |
Логические операции и выражения отношений
Логическим выражением называется конструкция, составленная из выражений отношений, знаков логических операций и круглых скобок. Значение логического выражения вычисляется слева направо с учетом приоритетов операций. Список приоритетов (по их убыванию):
1. круглые скобки;
2. логическая операция И;
3. логическая операция ИЛИ.
Выражения отношений – используются для сравнения двух арифметических выражений между собой. Общий вид: выражени1 знак отношения выражение2. Допустимые знаки отношений представлены в таблице:
Знак отношения | Вводимые символы |
= | Ctrl + = |
< | < |
> | > |
Ctrl + 0 | |
Ctrl + 9 | |
Ctrl + 3 |
Логические операции ставятся между выражениями отношений. Определены две логические операции – логическое ИЛИ (+) и логическое И (×)
Примеры программных модулей
1)
2)
В первых двух случаях цикл задается с помощью дискретной переменной, в третьем – списком принимаемых значений. В четвертом, переменная цикла принимает значения элемента вектора V. Последний способ комбинирует приведенные выше способы.
3) Составим программу–функцию для определения позиций заданного элемента в векторе.
4)
Составим программу–функцию для зануления нечетных элементов вектора.
5) Составим программу–функцию для определения позиции первого нулевого элемента матрицы.
Составим программу–функцию для определения максимального элемента массива и его позиции.
7) Составим программу–функцию для определения произведения элементов массива.
Регрессия функций
Регрессия – представление совокупности данных некоторой функцией f(x). Задачей регрессии является вычисление параметров функции f(x) таким образом, чтобы функция приближала "облако" исходных точек с наименьшей погрешностью. При этом функция f(x) называется уравнением регрессии. При регрессии не требуется чтобы функция проходила через все заданные точки, что особенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих ошибки.
Встроенные операторы
В таблице, приведенной ниже, используются следующие обозначения: X и Y - переменные или выражения любого типа; x и y - вещественные числа; z и w - вещественные или комплексные числа; m и n - целые числа; A и B - массивы (векторы или матрицы); i - дискретный аргумент; t - любая переменная; f - любая функция.
Оператор | Клавиши | Назначение оператора |
X := Y | X : Y | Локальное присваивание X значения Y |
X ºY | X ~ Y | Глобальное присваивание X значения Y |
X = | X = | Вывод значения X |
X + Y | X + Y | Сложение X с Y |
X + Y | X [Ctrl][¿] Y | То же, что и сложение. Перенос чисто косметический. |
X - Y | X - Y | Вычитание из X значения Y |
X × Y | X * Y | Умножение X на Y |
X / z | Деление X на z | |
zw | z ^ w | Возведение z в степень w |
z | Вычисление квадратного корня из z | |
n [Ctrl] z | Вычисление корня n-ой степени из z | |
n ! | n ! | Вычисление факториала |
Bn | B [ n | Ввод нижнего индекса n |
An,m | A [ n , m | Ввод двойного индекса |
A<n> | A [Ctrl]6 n | Ввод верхнего индекса |
[Ctrl][Shift]4 | Суммирование Х по i = m, m + 1, . . . n | |
$ | Суммирование Х по дискретному аргументу i | |
[Ctrl][Shift]3 | Перемножение Х по i = m, m + 1, . . . n | |
# | Перемножение Х по дискретному аргументу i | |
$ | Суммирование Х по дискретному аргументу i | |
& | Вычисление определенного интеграла f(t) на интервале [a, b] | |
? | Вычисление производной f(t) по t | |
[Ctrl]? | Вычисление производной n-го порядка функции f(t) по t | |
(§) | ‘ | Ввод пары круглых скобок с шаблоном |
x > y | x > y | Больше чем |
x < y | x < y | Меньше чем |
x ³ y | x [Ctrl]0 y | Больше либо равно |
x £ y | x [Ctrl]9 y | Меньше либо равно |
z = w | z [Ctrl]= w | Булево равенство возвращает 1, если операнды равны, иначе 0 |
z ¹ w | z [Ctrl]3 w | Не равно |
|z| | | z | Вычисление модуля комплексного z |
Литература
1. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. - М.: “СК Пресс”, 1997. - 336 с.: ил.
2. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в“Нолидж”, 2000. - 512 с.: ил.
3. Кудрявцев математике, физике и Internet. - М.: Е.М. MathCAD 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 576 с.: ил.
4. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. - М.: КомпьютерПресс, 1998. - 384 с.: ил.
5. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высш. шк., 2000. - 716 с.: ил.
6. Новиков А. А. Практическое пособие к лабораторным и контрольным работам по теме "Решение инженерно-экономических задач в среде MathCad for Windows" курса "Информатика" для студентов заочного отделения. – Гомель.:ГГТУ, 2000. – 45с. (м.ук № 2774)
7. Токочаков В. И. Практическое пособие по теме " Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде MathCad for Windows" для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. . – Гомель.:ГГТУ, 2000. – 25с. (м.ук № 2453)
8. Трохова Т. А. Практическое пособие по теме " Основные приемы работы в системе MathCad, версия 6.0" курса "Вт и программирование" для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. . – Гомель.:ГГТУ, 1998. – 42с. (м.ук № 2286)
9.
10.
[1] Доказательство этого факта связано с именами замечательных математиков Абеля (1802-1829) и Галуа (1811-1832).