Основные элементы системы MathCAD

Основные элементы системы MathCAD

Введение

Одной из основных областей применения ПК являются математические и научно-технические расчеты. Сложные вычислительные задачи, возникающие при моделировании технических устройств и процессов, можно разбить на ряд элементарных: вычисление интегралов, решение уравнений, решение дифференциальных уравнений и т. д. Для решения таких задач имеется целый ряд различных математических пакетов, реализующих разнообразные численные методы, способных так же производить аналитические математические преобразования. Наиболее известными сегодня являются следующие пакеты: Mathematica (фирма Wolfram Research), Maple (фирма Waterloo Maple Inc), Matlab (фирма The MathWorks), MathCAD (фирма MathSoft Inc).

Пакет Mathcad популярен, пожалуй, более в инженерной, чем в научной среде. Характерной особенностью пакета является использование привычных стандартных математических обозначений, то есть документ на экране выглядит точно так же как обычный математический расчет. Для использования пакета не требуется изучать какую-либо систему команд, как, например, в случае пакетов Mathematica или Maple. Пакет ориентирован в первую очередь на проведение численных расчетов, но имеет встроенный символический процессор Maple, что позволяет выполнять аналитические преобразования. В отличие от упомянутых выше пакетов, Mathcad является средой визуального программирования, то есть не требует знания специфического набора команд, имеет чрезвычайно удобный математико-ориентированный интерфейс и прекрасные средства научной графики.

Система MathCAD существует в нескольких основных вариантах:

¨ MathCAD Standard – идеальная система для повседневных технических вычислений. Предназначена для массовой аудитории и широкого использования в учебном процессе;

¨ MathCAD Professional – промышленный стандарт прикладного использования математики в технических приложениях. Ориентирована на математиков и научных работников, проводящих сложные и трудоемкие расчеты.

¨ MathCAD Professional Academic – пакет программ для профессионального использования математического аппарата с электронными учебниками и ресурсами.

Обзор возможностей системы

1. вычислительные функции; 2. графические функции; 3. программирование;

Интерфейс системы

¨ строка заголовка (первая строка, содержащая имя рабочего документа и стандартные кнопки управления окном) ¨ основное меню команд системы (вторая строка, включающая пункты… ¨ наборная панель (третья строка, содержащая набор кнопок или пиктограмм для удобного набора документа в…

Меню File

New (Создать) — создание нового документа с очисткой окна редактирования;

Open (Открыть) — загрузка ранее созданного документа из диалогового окна;

Save (Сохранить) — запись текущего документа с его именем;

Page Setup — параметров страницы;

Print (Печать) — распечатка документа на принтере;

Print Preview (Просмотр) — предварительный просмотр документа;

Меню Edit

Cut (Вырезать) — перенос выделенной части документа в буфер обмена;

Copy (Копировать) — копирование выделенной части документа в буфер;

Paste (Вставить) — перенос содержимого буфера обмена в окно редактирования на указанное место;

Undo (Отменить) — отмена предшествующей операции редактирования

Меню Insert

Graph — выбор типа графика и его вставка графика в документ;

Matrix — вставка матрицы с выбором размерности;

Function — вставка функции из списка, появляющегося в диалоговом окне;

Unit — вставка единиц измерения;

Text Region — вставка текстового блока;

Page Break — вставка разрыва страницы;

Меню Format

Number — установка локального и глобального цифрового формата отображения;

Align Regions – Across (Выровнять по горизонтали) — блоки выравниваются по горизонтали;

Align Regions – Down (Выровнять вниз) — блоки выравниваются по вертикали, располагаясь сверху вниз.

Меню Math

Calculate — вычисление выражений по желанию пользователя расположенных ниже курсора;

Calculate Worksheet — вычисление всего документа;

Automatic Calculation — включение/отключение автоматического режима вычисления;

Optimization — включение/отключение оптимизации вычислений;

Options — установка системных переменных, выбор системы единиц измерения.

Меню Symbolics

Меню управления символьными преобразованиями.

Меню Window

Меню управления многооконным режимом работы.

Меню Help

В системе действует, в зависимости от режима работы, несколько типов курсоров: ¨ курсор в виде диагональной белой стрелки, управляемый устройством типа… ¨ курсор в виде маленького красного крестика, определяющий начало формирования новой области на свободном поле…

Концепция построения документа системы

Подготовка вычислительных блоков облегчается благодаря вводу шаблонов. Для этого служат панели (палитры) с набором шаблонов различных математических… В системе действует, в зависимости от режима работы, несколько типов… ¨ курсор мыши;

Типы данных. Входной язык системы

MathCAD прежде всего требует от пользователя корректного описания алгоритма решения математической задачи на входном языке, очень напоминающем… Алфавит входного языка системы определяет совокупность символов и слов,… ¨ строчные и прописные буквы латинского и греческого алфавитов;

Формат вывода числовых данных

Вторая часть Precision (точность) — задает погрешность вычислений в виде показателя степени n для числа 10 в этой степени. Задаются число…     Окно для установки формата чисел В третьей части — Imaginary (мнимая единица) — задается знак мнимой единицы для комплексных чисел i или j. Если Re…

Структурированные данные

Дискретные переменные

1. Name := Nbegin .. Nend ; 2. Name := Nbegin, (Nbegin + Step) .. Nend. где Name – имя переменной, Nbegin – ее начальное значение, Nend – конечное значение, ..(; на клавиатуре, либо m..n – в…

Обращение к элементам массива

Массивы могут использоваться в выражениях целиком или поэлементно. Для обращения к элементам массивов нужно указать числовые значения индексов элементов. Также можно обращаться к конкретной строке или столбцу матрицы с помощью верхнего индекса (выделения столбца CTRL+^) или нижних индексов.

Параллельные вычисления, векторизация.

    Операция векторизации позволяет применить математические операции и функции к каждому элементу массива поочередно.…

Стандартные и пользовательские функции

Следует особо отметить разницу между аргументами и параметрами функции. Переменные, указанные в скобках после имени функции, являются ее… Главным признаком функции является возврат значения, т.е. функция в ответ на… Функции в пакете MathCAD могут быть встроенные (cos, sin, ln), т. е. заблаговременно введенные разработчиками, и…

Стандартные функции

Классификация стандартных функций

 

Пакет MathCAD является мощной вычислительной системой за счет наличия огромного количества стандартных функций, которые можно классифицировать следующим образом:

1. математические (арифметические, тригонометрические, гиперболические, комплексные, специальные);

2. векторные и матричные (создания, объединения, работы со строками и столбцами, матричная алгебра, специальные функции);

3. статистические (вероятности, гистограммные, распределения);

4. аппроксимация и интерполяция (интерполяция, аппроксимация, регрессия, сплайны, линейное предсказание);

5. решение линейных, нелинейных, дифференциальных уравнений и систем;

6. доступа к внешним данным (ввод/вывод структурированных и неструктурированных файлов).

Основные элементарные математические функции

Основные элементарные математические функции можно разделить на 6 групп: 1. тригонометрические – sin(z), cos(z), tan(z), cot(z), csc(z), sec(z); 2. гиперболические – sinh(z), cosh(z), tanh(z), coth(z), csch(z), sech(z);

Типовые статистические функции

Функции с условиями сравнения

Пример: 2.5. Функции доступа к внешним данным Для работы с внешними данными система MathCAD имеет специальный тип данных – файловые данные. Фактически, это те же…

Графические возможности системы MathCAD

1. X-Y Plot[@] – декартова система координат; 2. Polar Plot [Ctrl+7] – график в полярной системе координат; 3. Surface Plot [Ctrl+2] – трехмерный график (график поверхности);

Построение графиков в декартовой системе координат

1. упрощенный способ построения без предварительного задания дискретной переменной (изменение переменной по умолчанию от –10 до +10); 2. с заданием дискретной переменной. Построение графиков в полярной системе координат

Построение трехмерных графиков

Большие возможности дает способ задания трехмерных поверхностей – в параметрическом виде. При этом приходится формировать три матрицы – X, Y и Z — и… Установка форматов двумерной графики     Диалоговое окно установки формата отображения графика вызывается из меню Format –…

Форматирование осей графика

Log Scale (Лог. масштаб) — установка логарифмического масштаба; 1. Crid Lines (Линии сетки) — установка линий масштабной сетки; 2. Numbered (Пронумеровать) — установка цифровых данных по осям;

Форматирование линий графиков

1. Legend Label (Имя кривой) — указание типа линий у оси ординат; 2. Symbol (Маркер) — установка символа отметки базовых точек графика; 3. Line (Линия) — установка типа линий;

Задание надписей в графиках

Панель меток Label (Надписи) позволяет вводить в рисунок дополнительные надписи. Эта панель появляется, если уже создан текущий график.

Для установки надписей служат небольшие окошки:

1. Title - установка титульной надписи к рисунку;

2. X-Axis - установка надписи по оси X;

3. Y-Axis - установка надписи по оси Y.

В разделе Title содержатся опции Above (Сверху) и Below (Снизу) для установки титульной надписи либо над рисунком, либо под ним. Кроме того, опция Show Title (Показать заголовок) позволяет включать или выключать отображение титульной надписи.

Графические установки по умолчанию

Панель Defaults (По умолчанию), служит для установки опций графиков Change to Defaults (Вернуть значения по умолчанию) и Use for Defaults (Использовать для значений по умолчанию).

Решение уравнений и систем

Рис. Классификация уравнений  

Решение линейных и трансцендентных уравнений

root( f(х1, x2, …), х1), где f(х1, x2, …) – функция описывающая левую часть выражения вида f(x)=0.… х1 – имя переменной, относительно которой решается уравнение.

Нахождение корней полинома

Решение систем уравнений и неравенств

Наиболее распространенным является блочный метод. Mathcad решает систему с помощью итерационных методов. Для решения системы этим методом необходимо… 1. Задать начальное приближение для всех неизвестных, входящих в систему… 2. Напечатать ключевое слово Given. Оно указывает, что далее следует система уравнений;

Отсутствие сходимости решения

1. система не имеет решения; 2. для уравнения, которое не имеет вещественных решений, в качестве начального… 3. в процессе поиска решения последовательность приближений попала в точку локального минимума невязки. Для поиска…

Приближенные решения

Решение матричных уравнений

Если матрица а – неособенная, то есть det(а) ¹ 0 то система, имеет единственное решение. Для решения систем линейных уравнений можно… Системы линейных уравнений удобно решать с помощью функции lsolve(а, b) – где…  

Основные функции

1. rkfixed – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта четвертого порядка с постоянным шагом; 2. Rkadapt – функция решения ОДУ и систем ОДУ методом Рунге–Кутта с переменным… 3. Bulstoer –функция решения ОДУ и систем ОДУ методом – метод Булирша–Штёра если заранее известно, что решением…

Рекомендации по использованию

Обычно функция Rkadapt благодаря автоматическому изменению шага решения дает более точный результат, но по скорости вычислений она проигрывает функции rkfixed, хотя если решение меняется медленно, она может привести к заметному уменьшению числа вычислений. Поэтому функция Rkadapt наиболее пригодна для решения ОДУ дающих медленно меняющееся решения.

Примеры решения дифференциальных уравнений

1. Решим ОДУ .

1.1. Задаем вектор начальных условий:

1.2.

Задаем вектор – функцию первой производной неизвестной функции:

1.3.

Для решения воспользуемся функцией rkfixed :

2. Решим дифференциальное уравнение второго порядка:

.

Преобразуем уравнение в систему ОДУ первого порядка, решенных относительно первой производной:

.

3. Решим систему линейных уравнений первого порядка:

.

4. Решим систему двух линейных уравнений второго порядка:

с начальными условиями .

Программирование в пакете Mathcad

Порядок описания программы–функции Mathcad: 1. ввести имя программы-функции и список формальных параметров. имя_программы (формальные параметры: =);

Основные программные операторы

Для создания программных модулей используются следующие основные элементы:

Название	Описание
Add Line	Создание и расширение программного модуля;
¬	Внутреннее локальное присваивание.
if	Оператор условного выражения. Общий вид: выражение if условие. В случаи выполнения условия возвращается значение выражения. Совместно с этим оператором часто используются break и otherwise.
for	Wиклов с заданным числом повторений. Общий вид: for Var ÎNmin..Nmax. Цикл можно задать диапазоном, множеством, вектором, возможна их комбинация. Переменную цикла Var можно использовать в программе.
while	Цикл с предусловием, действующий пока условие истинно. Общий вид: while условие. Тело цикла записывается на месте шаблона.
otherwise	Оператор "иначе", обычно используется совместно с if для выполнения действий в случаи не выполнения условия.
break	Вызывает прерывание работы программного блока. Обычно используется с операторами циклов и условия, для досрочного выхода из цикла или программного блока.
continue	Используется для продолжения работы цикла после прерывания. Обычно используется совместно с операторами задания циклов, обеспечивает прерывание и возврат в начало цикла.
return	Прерывает выполнение программы и возвращает значение своего операнда.
on error	Оператор обработки ошибок. Общий вид: выражение1 on error выражение2. Если при выполнении выражения1 возникла ошибка, то выполняется выражение2. Для обработки ошибок полезна функция error(S), которая выдает текстовое сообщение (S) и прерывает работу программного блока.

 

Логические операции и выражения отношений

Логическим выражением называется конструкция, составленная из выражений отношений, знаков логических операций и круглых скобок. Значение логического выражения вычисляется слева направо с учетом приоритетов операций. Список приоритетов (по их убыванию):

1. круглые скобки;

2. логическая операция И;

3. логическая операция ИЛИ.

Выражения отношений – используются для сравнения двух арифметических выражений между собой. Общий вид: выражени1 знак отношения выражение2. Допустимые знаки отношений представлены в таблице:

Знак отношения	Вводимые символы
=	Ctrl + =
<	<
>	>
	Ctrl + 0
	Ctrl + 9
	Ctrl + 3

Логические операции ставятся между выражениями отношений. Определены две логические операции – логическое ИЛИ (+) и логическое И (×)

Примеры программных модулей

1)

Определим программу-функцию для вычисление корней квадратного уравнения .

2)

Примеры цикла for.

В первых двух случаях цикл задается с помощью дискретной переменной, в третьем – списком принимаемых значений. В четвертом, переменная цикла принимает значения элемента вектора V. Последний способ комбинирует приведенные выше способы.

3) Составим программу–функцию для определения позиций заданного элемента в векторе.

4)
Составим программу–функцию для зануления нечетных элементов вектора.

 

5) Составим программу–функцию для определения позиции первого нулевого элемента матрицы.

Составим программу–функцию для определения максимального элемента массива и его позиции.

7) Составим программу–функцию для определения произведения элементов массива.

 

Апроксимация Функций

В том случае, когда приближение строится на дискретном наборе точек, аппроксимацию называют точечной или дискретной. В том случае, когда аппроксимация проводится на непрерывном множестве точек… Наиболее часто встречающим видом точечной аппроксимации является интерполяция (в широком смысле).

Регрессия функций

Регрессия – представление совокупности данных некоторой функцией f(x). Задачей регрессии является вычисление параметров функции f(x) таким образом, чтобы функция приближала "облако" исходных точек с наименьшей погрешностью. При этом функция f(x) называется уравнением регрессии. При регрессии не требуется чтобы функция проходила через все заданные точки, что особенно важно при аппроксимации данных, заведомо содержащих ошибки.

Линейная регрессия

. Существуют и другие алгоритмы определения коэффициентов линейной регрессии –… В общем виде аппроксимирующею функцию можно представить как . Задачей линейной регрессии является вычисление…

Полиномиальная регрессия

Функция regress определяет единственный приближающий полином, элементы которого вычисляются по всей совокупности точек. Для проведения локальной…

Нелинейная регрессия общего вида

. 6.2 Интерполирование функций Интерполирование – способ приближенного или точного нахождения, какой либо величины по известным отдельным значениям,…

Кусочная линейная интерполяция

Сплайновая интерполяция

На каждом интервале интерполирующую функцию можно представить как полином 3–ей степени удовлетворяющий условию . Коэффициенты полиномов…    

Встроенные операторы

В таблице, приведенной ниже, используются следующие обозначения: X и Y - переменные или выражения любого типа; x и y - вещественные числа; z и w - вещественные или комплексные числа; m и n - целые числа; A и B - массивы (векторы или матрицы); i - дискретный аргумент; t - любая переменная; f - любая функция.

Оператор	Клавиши	Назначение оператора
X := Y	X : Y	Локальное присваивание X значения Y
X ºY	X ~ Y	Глобальное присваивание X значения Y
X =	X =	Вывод значения X
X + Y	X + Y	Сложение X с Y
X + Y	X [Ctrl][¿] Y	То же, что и сложение. Перенос чисто косметический.
X - Y	X - Y	Вычитание из X значения Y
X × Y	X * Y	Умножение X на Y
	X / z	Деление X на z
zw	z ^ w	Возведение z в степень w
	z	Вычисление квадратного корня из z
	n [Ctrl] z	Вычисление корня n-ой степени из z
n !	n !	Вычисление факториала
Bn	B [ n	Ввод нижнего индекса n
An,m	A [ n , m	Ввод двойного индекса
A<n>	A [Ctrl]6 n	Ввод верхнего индекса
	[Ctrl][Shift]4	Суммирование Х по i = m, m + 1, . . . n
	$	Суммирование Х по дискретному аргументу i
	[Ctrl][Shift]3	Перемножение Х по i = m, m + 1, . . . n
	#	Перемножение Х по дискретному аргументу i
	$	Суммирование Х по дискретному аргументу i
	&	Вычисление определенного интеграла f(t) на интервале [a, b]
	?	Вычисление производной f(t) по t
	[Ctrl]?	Вычисление производной n-го порядка функции f(t) по t
(§)	‘	Ввод пары круглых скобок с шаблоном
x > y	x > y	Больше чем
x < y	x < y	Меньше чем
x ³ y	x [Ctrl]0 y	Больше либо равно
x £ y	x [Ctrl]9 y	Меньше либо равно
z = w	z [Ctrl]= w	Булево равенство возвращает 1, если операнды равны, иначе 0
z ¹ w	z [Ctrl]3 w	Не равно
|z|	| z	Вычисление модуля комплексного z

 

Литература

1. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. - М.: “СК Пресс”, 1997. - 336 с.: ил.

2. Дьяконов В.П., Абраменкова И.В. MathCAD 8 PRO в“Нолидж”, 2000. - 512 с.: ил.

3. Кудрявцев математике, физике и Internet. - М.: Е.М. MathCAD 2000 Pro. – М.: ДМК Пресс, 2001. – 576 с.: ил.

4. Очков В.Ф. Mathcad 7 Pro для студентов и инженеров. - М.: КомпьютерПресс, 1998. - 384 с.: ил.

5. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad 2000. Лабораторный практикум по высшей математике. - М.: Высш. шк., 2000. - 716 с.: ил.

6. Новиков А. А. Практическое пособие к лабораторным и контрольным работам по теме "Решение инженерно-экономических задач в среде MathCad for Windows" курса "Информатика" для студентов заочного отделения. – Гомель.:ГГТУ, 2000. – 45с. (м.ук № 2774)

7. Токочаков В. И. Практическое пособие по теме " Решение систем алгебраических и дифференциальных уравнений в среде MathCad for Windows" для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. . – Гомель.:ГГТУ, 2000. – 25с. (м.ук № 2453)

8. Трохова Т. А. Практическое пособие по теме " Основные приемы работы в системе MathCad, версия 6.0" курса "Вт и программирование" для студентов всех специальностей дневного и заочного отделений. . – Гомель.:ГГТУ, 1998. – 42с. (м.ук № 2286)

9.

10.

[1] Доказательство этого факта связано с именами замечательных математиков Абеля (1802-1829) и Галуа (1811-1832).