Реалiзацiя експеримента

 

Як приклад, розглянемо проведення досліду для наведеної вище матри­ці (табл. 6.1). Припустимо, що вхідні параметри складу стічної води виз­на­­чаються факторами Х₁ і Х₂, а параметр керування позначено фактором Х₃.

 

 

4 Визначення точності експеримента

 

В кожному досліді відхилення значень, що отримані, повинні бути мі­­німальними, тобто виміри параметрів оптимізації мають бути максимально точними.

Для визначення цього відхилення, що характеризується дисперсією, спочатку обчислюється середнє значення параметра опти­мі­зації в кожному досліді:

 

i=1,2,...n ,

(3)

 

де m – кількість повторень в даному досліді;

i – порядковий номер досліду в матриці.

 

(4)

Результати кожного досліду повинні бути вимірені з од­на­ко­вою точ­ніс­­тю. Для перевірки цього зазвичай вико­ристовують при­пущення про од­но­рідність дисперсій параметра оптимізації. Перевірка гіпотези од­но­рід­ності дисперсій здій­с­­нюється за до­помогою критерiя Кохрена, який є відношенням мак­си­мальної ди­с­­­персії в дослідах до суми всіх дисперсій експери­мента:

 

(5)

де - максимальне значення вибipкової диспеpсiї.

Якщо дисперсiї однорiднi, то

 

Gmax<Gp(N,m-1),

(6)

 

де G_p(N, m-1) табульоване значення критерiя Кохрена при рiв­нi значимостi р (зазвичай його приймають 5%).

Математична модель процеса очистки подається у вигляді по­лінома:

 

(7)

 

де x_i,x_j – фактори;

b₀, b_i, b_ij, - коефіцієнти полінома.

Як перше наближення для рівняння регресії зазвичай ви­ко­рис­­то­ву­єть­ся поліном неповного другого ступеня. Якщо во­но не від­повідає ре­аль­но­му процесу очистки стічних вод, тоб­то не адек­ватне йому, здій­с­ню­ється по­будова моделі, яка опи­су­ється полі­номом другого рівня. Як­що не адек­ват­не і це рів­нян­ня, то будують рівняння більш високих сте­пеней.

Розрахунок коефіцієнтів регресії лінійних членів по­лі­но­ма здій­с­ню­ється за формулою:

,

(8)

де - середне значення параметра оптимізації в дослі­ді.

,

(9)

де x_i - кодоване значення фактора в і-му досліді.

Коефіцієнти регресії, які характеризують взаємодію фак­то­рів (ефектів подвійної взаємодії), ви­зна­чаються за формулою:

 

(10)

 

Коефіцієнти регресії, які характеризують ефекти потрійної вза­ємодії, ви­зна­чаються за формулою:

(11)

Визначення значимості коефіцієнтів регресії

 

Значимість коефіцієнтів регресії перевіряється порів­нян­ням їх величини із значенням довірчих інтервалів , які для варіанту плану­ван­ня експерименту, що разглядається, од­на­кові для всіх коефіцієнтів.

Для оцiнки значимостi ко­ефiцi­єн­тiв рiвняння регресiї (7) необхiдно спочатку знайти дисперсiю вiдтворення. Якщо дисперсiї однорiднi, то дисперсiя вiдтво­рен­ня:

 

(12)

 

Дисперсія коефіціентів регресії визначається з виразу

 

(13)

 

При відоміх дисперсіях довірчий інтервал коефiцi­єн­тiв рiвняння регресiї дорівнює:

 

,

(14)

 

де t - табличне значення критерія Стьюдента при числі сте­пеней сво­боди, з якими визначалось і вибраному рівні зна­чимості.

Коефіцієнт регресії рахується значимим, якщо його аб­со­лют­не зна­чен­ня перевищує величину довірчого інтервалу.

Перевірка адекватності моделі

 

Перевірка гіпотези адекватності прийнятої моделі реальному процесу здійснюється за критерієм Фішера:

,

(15)

де - дісперсія адекватності;

- дісперсія відтворення.

Диспеpсiя адекватності визначається за формулою

(16)

 

де - значення параметра оптимізації, яке отримане роз­­рахунком з рів­няння регресії, з якого виключени всі не­зна­чимі члени (коефіцієнти ре­гресії, які визнані незна­чи­ми­ми, приймаються рівними 0 і тому не вхо­дять в математичну мо­дель процеса очистки).

Якщо значення F , що отримано, менше таблич­ного Fp (f1, f2) для обраного рiвня значимостi р i чисел степенiв сво­боди f1 = N-1 i f2 = N-l, то гіпотеза адекватності приймається. В іншому випадку застосовується планування дру­го­го порядка.

 

Перевірка необхідності планування другого порядка

 

Перевірка необхідності планування другого порядка обо­в'яз­кова в тому випадку, коли в рівнянні регресії, що от­ри­мане, хоча б один ко­е­фі­цієнт при парних взаємодіях X_i був зна­чи­мим. Значимість його є до­стат­ньою підставою для ствер­д­жен­ня про нелінійність математичної мо­де­лі.

Необхідність планування другого порядка оцінюється по внеску у величину параметра оптимізації коефіцієнтів поліно­ма другої і більшої степеней. Оцінка суми коефіцієнтів при квадратичних і більш високих степенях визначається за величи­ною різниці між вільним членом b₀ в рівнянні регресії і се­ред­нім значенням , яке отримане з додаткових до матриці до­слі­дів в центрі експеримента. Додаткові досліди прово­дять­ся при нульових кодованих значеннях всіх факторів.

Значимість різниці оцінюється за критерієм Стьюдента:

 

,

(17)

 

де - отримана раніше дісперсія, що характеризує похибку дос­лі­дів.

Значення критерія Стьюдента порівнюється з його табличним зна­ченням. Якщо отримане значення критерія менше таблич­но­го, приймається гіпотеза про незначність квадратичних чле­нів. Таке рішення дозволяє відмовитись від планування другого порядка і обмежитись поданням рівняння регре­сії по­ліномом не­повної другої степені (без квадратичних членів).

В іншому випадку виконується планування експерименту дру­­­гого порядку. Методика такого планування викладена в спе­ці­­­альній літературі.

 

 

Приклад побудови математичної моделі з використанням апарата планування експеримента

 

Розглядається задача побудови математичної моделі процесу електронейтралізації кислих стічних вод підприємств первинної обробки вовни [4]

Під час дослідів параметром оптимізації була величина рН ка­толіта під час електронейтралізації. Як фактори прийняті та­кі параметри управління процесом:

Х₁ – сила струму, А;

Х₂ – відстань між електродами, см;

Х₃ – тривалість процеса, хв.

 

Реалiзацiя експеримента

 

Для побудови математичної моделі процеса електронейтра­лі­зації прийнятий план повного факторного експеримента типу 23, матриця якого наведена в табл. 6.2.

Обрахування значень таблиці починаючи з колонки 7 та інших критерієв до­ці­ль­­но виконувати за допомогою електронної таблиці Excel.

 

 

Таблиця 6.2 Матриця, результати і розрахунок планованого факторного експерименту

 

Кодування факторів і но­мер дослi­ду	Сила стру­му, А	Відстань між електро­дами, см	Трива­лість процесу, хв	Значення параметра оптимiзацiї (величини рН католіта)	Дис­персія віднос­но серед­нього	Розрахункове значен­ня,	Диспер­сія від­творен­ня
	Х1	Х2	Х3	В І-й серії дослі­дів Y1	В 2-й серії дослі­дів Y2	Серед­нє з серій дослі­дів Yсер
Верхній рівень +1
Нульовий рівень 0	2,25
Нижній рівень -1	0,50
Інтервал	1,75
	+	+	+	11,70	11,93
	-	+	+	4,84	4,81
	+	-	+	11,83	11,83
	-	-	+	5,26	4,61
	+	+	-	5,90	5,54
	-	+	-	4,51	4,32
	+	-	-	5,57	5,31
	-	-	-	4,52	4,38