Интегральное исчисление.

18 Неопределённый и определённый интеграл.

Имеется два определения операции интегрирования: 1) операция обратная дифференцированию; 2) есть предел суммы .

Неопределённый интеграл.

Рассмотрим функции и .

Функция , удовлетворяющая условию , называется первообразной для функции .

, .

Равенство не изменится, если под знак дифференциала внести константу

.

Введём операцию обратную дифференцированию, тогда

. 1

Каждая функция имеет множество первообразных, совокупность всех первообразных для данной функции называют её неопределённым интегралом, операцию нахождения совокупности первообразных – интегрированием.

Определённый интеграл.

Рассмотрим выражение . Бесконечно малое приращение функции равно площади бесконечно тонкого прямоугольника под графиком . Очевидно, что конечное приращение при изменении аргумента от до можно представить, как сумму малых приращений

где – число интервалов, на которые разбит отрезок (,), – ширина интервала, , , .

Приближенное равенство будет тем точней, чем меньше и больше . При устремлении получаем

, ,

и выражение для конечного приращения . 2

В выражении (2) значки заменим на более привычные . Если в (2) вместо рассматривать аргумент и , тогда

. 3

Сравнив выражения (1), (2) и (3) можно обнаружить сходство операций и . В настоящее время последнюю обозначают

. Выражение – формула Ньютона-Лейбница, используется для вычисления определённого интеграла.

Примеры.

– определяет площадь под кривой; – определяет проекцию перемещения тела на ось 0X;

– определяет заряд, протекающий через поперечное сечение провода;

– определяет работу гравитационной или кулоновской силы в случае центрально симметричного поля.

 

19 Вычисление длины пути (длины дуги).

С позиций физики

. 4

Длину пути или длину дуги можно вычислить с позиций геометрии

.

. 5

Формулы (4) и (5) определяют одну и туже величину. Для использования (4) кривая должна быть задана параметрически.

Нам известны следующие отношения

и .

Подставляем их в (5) получаем (4)

.

 

 

21 Центр масс.

Рассмотрим задачу. Система состоит из точечной массы и стержня с линейной плотностью . Найти центр масс системы.

Элементу длины стержня отвечает масса . Линейная плотность есть произведение объёмной плотности на площадь сечения .

По закону рычага элемент массы , находящийся на расстоянии справа от точки опоры, уравновешивается элементом массы , находящимся слева

, ,

, поскольку .

Найдём координату центра масс стержня. По определению

,

.

Если начало системы координат находится в центре масс, тогда и .

Покажем, что потенциальная энергия тела в поле силы тяжести равна потенциальной энергии точечной массы, равной массе стержня и сосредоточенной в центре тяжести тела.

,

.

4) Центр масс искривлённой струны.

– линейная плотность.

Масса малого участка нити длиной : .

Пусть и параметрическое уравнение линии.

Разобьем нить на систему точечных масс .

По определению координаты центра масс

и .

Переходя к пределу ,

, .

Запись означает, что интеграл распространён по дуге.

Если линия задана параметрически и , откуда

, .

Если линия AB задана явным уравнением и , поэтому

, .

22 Центр масс пластинки произвольной формы.

В этом случае необходимо вычислить двойные интегралы

,

.

– плотность пластинки, отнесённая к единице площади .

К формулам для вычисления центра масс можно прийти логически. Интеграл определяет линейную плотность, а величина центр масс бесконечно тонкой полосы (изображена на рисунке).

Если пластинка однородна , то из формул для координат центра масс

,

.