Дифференциальные уравнения.

30 Решение дифференциальных уравнений (случай разделяющихся переменных, введение новой переменной).

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка . В простейшем случае можно сразу разделить переменные, и для решения необходимо

1) Представить .

2) Произвести разделение переменных, т.е. привести интегральное уравнение к виду .

3) Произвести интегрирование. Для нахождения общего решения , откуда, если возможно, выражаем явно . Для нахождения частного подставляем начальные условия , в общее решение и находим значение постоянной . Частное решение также можно найти по формуле .

Если произвести разделение переменных не удаётся, то применяются дополнительные операции. Вводятся новые переменные. Например, найти общее решение дифференциального уравнения .

Вводим новую переменную .

Дифференцируем правую и левую по части и выражаем производную

, .

В итоге наше дифференциальное уравнение приводим к виду

.

Теперь мы можем произвести разделение переменных, проинтегрировать и найти зависимость

, , , , производим потенцирование , .

Получаем ответ .

Проверяем наш результат подстановкой в исходное уравнение

является решением дифференциального уравнения .

 

31 Решение дифференциальных уравнений гармонических и затухающих колебаний.

При решении дифференциальных уравнений второго порядка в отдельных случаях с помощью замены переменных можно понизить его порядок.

Рассмотрим уравнение задачи 3.

. 2

Преобразуем вторую производную по времени , после подстановки имеем дифференциальное уравнение первого порядка

.

В качестве переменных теперь выступают и , то есть ищется зависимость .

Уравнение задачи 4 3

Его можно решить несколькими способами.

1) Вводим новую переменную

.

После подстановки в дифференциальное уравнение имеем

.

Мы получили уравнение аналогичное (2) при условии . Только в этом случае наблюдаются колебания.

2) Полагают, что уравнение (3) имеет решение вида

.

Подставляем решение в уравнение (3), в итоге получаем характеристическое уравнение .

Нас интересует случай, когда . Введём обозначение , тогда . Характеристическое уравнение имеет два комплексных корня .

В итоге имеем два линейно независимых решения , их линейная комбинация образует общее решение

.

Представим , и используем формулы Эйлера , . После подстановки в общее решение получим

.

Физические задачи накладывают условия на значения констант: и , .

.

3) Метод вариации постоянных.

Применим к линейным уравнениям любого порядка. Линейное уравнение порядка имеет вид

.

Уравнение без правой части называют однородным, с правой частью неоднородным.

Основная идея метода: 1) в общем решении однородного уравнения заменить произвольные постоянные неизвестными функциями; 2) наложить на функции дополнительные условия, упрощающие вычисления.

Мы будем использовать данный метод для решения дифференциального уравнения второго порядка

. 4

Пусть общее решение уравнения без правой части

. 5

Дифференцируем решение, считая постоянные и неизвестными функциями

.

Накладываем дополнительное условие на производные и

. 6

В итоге имеем значение первой производной

. 7

Дифференцируем ещё раз

. 8

Подставляем (5), (7) и (8) в (4), все члены содержащие и взаимно уничтожатся, так как и решения дифференциального уравнения (4). В итоге мы получим ещё одно условие

.

4) Решение дифференциальных уравнений, используя степенные ряды.

Решим уравнение

.

Пусть решением уравнения является ряд вида

.

Найдём первую и вторую производные ряда

,

.

Подставляем ряды в уравнение и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях нулю, в итоге имеем

, , , , …

, , , , …

Подставляем значения коэффициентов в исходный ряд

,

,

.