Разложение функций. Ряды Тейлора, Маклорена и Фурье.

27 -28 Ряды Тейлора и Маклорена.

Дифференциал функции

. 1

Для конечного приращения функции имеем приближенное равенство

. 2

Обозначим приращение аргумента , тогда выражение (2)

.

Значение функции в точке

. 3

Выражение (3) тем точней, чем меньше , его можно использовать для приближенных вычислений значения функции, например вычислим значения , , , .

	Точное значение	По ф-ле (3)
	0.507538	0.507557
	0.515038	0.515115
	0.529919	0.53023
	0.544639	0.545345

Применение (3) даёт

.

Формулу (3) можно уточнить, для этого проинтегрируем (1)

, ,

. 4

Применим формулу (3) к производной функции

. 5

Подставим полученное выражение в (4)

. 6

Формула (6) также является приближенной, её можно уточнить. Запишем выражение аналогичное (4) для производной функции

. 7

Применим формулу (3) к второй производной

. 8

Подставим (8) в (7) и интегрируем

. 9

Подстановка (9) в (4) даёт

,

. 10

Формула (10) является приближенной и требует дальнейшего уточнения. Продолжая данный процесс можно получить формулу для разложения функции

. 11

Рассмотрим более строгий вывод выражения (11). Запишем выражение (4) в виде

. 12

Преобразуем дифференциал под знаком интеграла (верхний предел интегрирования, в данном случае является константой) и произведём интегрирование по частям.

,

. 13

Аналогичные операции произведём с интегралом выражения (13)

,

. 14

С учетом последнего равенства для (13) имеем

. 15

Производя интегрирование по частям раз, получим выражение

16

Последнее слагаемое в (16) называют остаточным членом, он определяет погрешность вычислений значения функции. Лагранж для остаточного члена получил , . Выражение (16) называют формулой Тейлора.

 

Если в (16) принять , то получим формулу (ряд) Маклорена.

. 17

2) Разложение функции в ряд Фурье (спектральный анализ функции).

Пусть дана произвольная функция . Примем, что данную функцию на интервале можно разложить в тригонометрический ряд вида

18

Наша задача найти коэффициенты ряда , , , , , … Для решения данной задачи используется свойство ортогональности тригонометрических функций. Функции и называются ортогональными в промежутке (a,b), если интеграл произведения , взятый от a до b, равен нулю

.

В нашем случае для натуральных и выполняются отношения

, при . 19

, 20

. 21

Выражения (19) и (20) вытекают из формул сложения и вычитания тригонометрических функций

,

,

.

Например

, так как .

Для вычисления интегралов (21) используются формулы понижения степени

, .

Теперь мы можем найти выражения для коэффициентов формулы (2). Умножим правую и левую части (18) на и проинтегрируем от до , тогда в силу ортогональности все члены справа кроме одного обратятся в нули, и мы имеем

. 22

Аналогично, умножая (18) на

. 23

Выражения (22) и (23) дают формулы для коэффициентов (18)

, . 24

Для определения интегрируем (18) от до (все слагаемые справа кроме одного выпадут)

.

Выражение (18) упрощается для чётных () и нечётных () функций. В случае чётной функции все коэффициенты , нечётной и . Доказательство.

Чётная .

Нечётная .

Функция раскладывается в тригонометрический ряд на интервале , используя новую переменную, его можно расширить, после того как разложение будет получено, вернуться к первоначальному аргументу.