Криволинейное движение.

13 Случай движения по окружности

Рассмотрим материальную точку, движущуюся по окружности радиуса равноускоренно. Зависимость угла поворота и угловой скорости от времени

, , .

Пусть тело в некоторый момент времени находится в точке M, её положение определяется радиус-вектором .

Проекции радиус вектора на оси декартовой системы координат

, .

Найдём проекции скорости и ускорения

, ;

, .

Введём единичные вектора и (направлен к центру окружности, вдоль касательной). Тогда радиус-вектор, вектор скорости и ускорения можно представить

, где ,

, ,

.

Покажем, что введенные вектора и перпендикулярны.

.

Выделяются две составляющие вектора , называют тангенциальным ускорением, его направление совпадает с направлением скорости, – нормальное ускорение, перпендикулярно скорости и направлено в сторону вогнутости траектории.

Модуль вектора ускорения .

Вектор скорости всегда направлен по касательной к траектории, это также справедливо для проекций траектории и скорости на некоторую плоскость.

Уравнение касательной выводится, используя понятие производной

, ,

.

Дома. Повторить фрагменты лекции по общей физике: “Ускорение при криволинейном движении” и “Связь линейных и угловых величин при вращательном движении”.

 

 

16 Применение формулы при криволинейном движении

(общий случай).

При движении по окружности величина равнялась её радиусу, то есть была постоянной. В общем случае произвольной кривой траектории изменяется. Но на бесконечно малых участках траектории можно считать постоянным и применять выше рассмотренную формулу, определяющую . Величину называют радиусом кривизны кривой в некоторой точке.

Найдем формулу, определяющую . В случае круговой траектории

,

где – длина дуги MN, – угол поворота касательной.

В случае криволинейного движения величина определяет средний радиус кривизны кривой на дуге MN. Радиус кривизны в точке M определится как предел

.

Величину называют кривизной в точке M. Она определяет скорость поворота касательной при движении точки по кривой с единичной скоростью, то есть когда .

Формулу для определения радиуса кривизны выведем двумя способами.

1) Определим производную , используя вспомогательную переменную

. 1

. 2

По определению .

Дифференцируем правую и левую части

.

Поскольку , находим производную

. 3

Подставляя (2) и (3) в (1), имеем

.

2) Производная .

, откуда выражаем . 4

Длина дуги . 5

Подставляя (4) и (5) в (1), имеем .

Найдём координаты центра кривизны. Необходимо к координатам точки кривой прибавить проекции радиуса кривизны на соответствующие оси.

, ;

, ;

, .

 

17 Радиус кривизны линии, заданной параметрически.

Нам понадобится выражение первой и второй производной функции, заданной параметрически

, .

Подставляя данные выражения в формулы для радиуса и координат центра кривизны, находим

, , .

Выражение для радиуса кривизны в полярных координатах.

Используем выражение для радиуса кривизны кривой, заданной параметрически. В качестве параметра выступает полярный угол.

, ,

, ,

, .

После подстановки в выражение для радиуса кривизны имеем

.