Итерационные методы решения СЛАУ - раздел Образование, Погрешность. Определение погрешности Итерационные Методы Решения Слау Заключаются В Построени...
Итерационные методы решения СЛАУ заключаются в построении последовательности векторов (k=0,1,2,…), сходящейся к вектору - решению :
. (5.40)
На практике приближенное решение считается найденным, если норма вектора невязки в (5.40) монотонно уменьшается с ростом k (метод сходится) и выполняется условие
, (5.41)
где - допустимая погрешность, а m достаточно велико, чтобы считать "точным" по сравнению с .
Кроме условия (5.41) на практике также применяется условие малости невязки для СЛАУ:
. (5.42)
Различные методы различаются алгоритмами построения указанной последовательности, но все они основаны на итерационных алгоритмах вычисления, то есть алгоритмах, многократно использующих одни и те же формулы, и все они нуждаются в том, чтобы было задано начальное приближение решения .
Метод простой итерации строится приведением СЛАУ (1) к виду
(5.43)
после чего итерационный процесс принимает следующий вид:
(5.44)
где k = 0,1,2,… .
Достаточные условия сходимости:
(5.45)
или
. (5.46)
Оценки погрешности:
, (5.47)
если выполнено условие (45) или
, (5.48)
если выполнено условие (46).
Метод Зейделя является модификацией метода простой итерации:
(5.49)
Условия и оценки его сходимости какие же, как и для метода простой итерации. Дополнительное условие сходимости: если матрица СЛАУ симметричная положительноопределенная, то метод Зейделя сходится.
В методе релаксации каждая итерация состоит из двух шагов:
1) в соответствии с методом Зейделя (49) определяется промежуточное значение вектора ;
2) определяется очередное приближение вектора
. (5.50)
Здесь - параметр релаксации, выбором которого можно влиять на свойства итерационного процесса. При имеем метод нижней релаксации, при - метод верхней релаксации.
Для СЛАУ с симметричной положительноопределенной матрицей метод релаксации сходится при .
Определение погрешности Погрешность ошибка некоторой величины это разность... Способы оценки погрешности... Различают априорную и апостериорную оценки погрешности...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Итерационные методы решения СЛАУ
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение погрешности
Физические величины почти всегда известны приближенно, с погрешностью, если только речь не идет о целочисленных величинах или физических эталонах.
Погрешность (
Источники погрешности
В теоретических исследованиях выделяют следующие источники погрешности:
- погрешность исходных данных;
- погрешность математической модели
Задачи аппроксимации и интерполяции
Часто функции либо имеют очень громоздкое аналитическое выражение, либо заданы таблично. В этом случае имеет смысл на некотором интервале заменить заданную функцию y(x) приближенным аналитическим,
Интерполяционный многочлен Ньютона.
Наиболее проста и универсальна интерполяция степенными функциями
. (2.7)
Можно показать, что условие (6) при этом всегда в
Погрешность и трудоемкость интерполяции
Известные в литературе априорные оценки погрешности интерполяции на практике неприменимы, т.к. они требуют знания производных от функции y(x).
Для апостериорной оценки погрешнос
Нелинейная интерполяция
Полиномиальная интерполяция не всегда сходится. Ряд (17) расходится для быстро изменяющихся функций (для сетки с большим шагом). В этом случае следует применить метод выравнивания
Эрмитова интерполяция
Постановка задачи эрмитовой интерполяции: таблично задана функция y(x), а также ее производные:
Интерполяция сплайнами
Сплайн - непрерывная кусочно - полиномиальная функция. Ее степень в задачах интерполяции не зависит от числа узлов и поэтому сплайны эффективны при многоузловой
Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
В прикладных задачах бывает необходимо аппроксимировать функцию единым аналитическим выражением на большом интервале изменения независимой переменной, что невозможно методами интерп
Двумерная интерполяция
Пусть функция z=z(x, y) задана таблично на прямоугольной сетке:
(43)
Необ
Полиномиальные формулы
Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если она задана таблично. Оно используется также при реш
Конечноразностные формулы
Часто требуется найти производные от функций, заданных на равномерной сетке и не в произвольной точке, а в узле сетки. Тогда можно получить формулы более простые, чем в общей постан
Метод Рунге - Ромберга
Этот метод позволяет, применяя формулы р-го порядка точности, получить результат (р+1)-го порядка точности.
Пусть приближенное значение некоторой величины на сетке с шагом
Вычисление интегралов
4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Даже если функция f(x) задана аналитически, вычислить интеграл
Формула средних
Самая простая квадратурная формула — одноузловая. Наиболее рационально выбирать этот узел посредине интервала, в точке `х=(a+b)/2. Для вывода формулы разложим подынтегральную функци
Формула трапеций
Если аппроксимировать подынтегральную функцию в (1) многочленом Лагранжа:
(10)
Формула Симпсона
Еще одна возможность получения квадратурных формул - использование метода Рунге-Ромберга (подраздел 3.3). Для вычисления интеграла
Нестандартные случаи интегрирования
Вычисление интеграла от функции, разрывной в точке х=с (а<с<в), возможно с высокой точностью, если интеграл предварите
Корректность задачи
Задача поставлена корректно, если:
1) решение задачи существует;
2) оно единственно,
3) решение непрерывно зависит от входных данных.
Вхо
Метод прогонки
Если матрица СЛАУ ленточная трехдиагональная, то метод Гаусса принимает более компактную форму и называется методом прогонки. СЛАУ при этом имеет следующий вид:
Метод LU-разложения
Матрица A СЛАУ
, (5.21)
если все главные миноры матрицы A отличны от ну
Метод квадратного корня
Если СЛАУ имеет симметричную матрицу, то для последней возможно представление
A = STDS,(5.29)
где S- верхняя треугольная матрица,
Итерационный метод вращений (Якоби)
Метод применим к симметричным матрицам и состоит в приведении заданной матрицы .к диагональному виду с помощью беско
Новости и инфо для студентов