Формула средних - раздел Образование, Погрешность. Определение погрешности
Самая Простая Квадратурная Формула — Одноузловая. Наиболее Ра...
Самая простая квадратурная формула — одноузловая. Наиболее рационально выбирать этот узел посредине интервала, в точке `х=(a+b)/2. Для вывода формулы разложим подынтегральную функцию в ряд Тейлора в окрестности точки `х:
(4)
Подставим ряд (4) в интеграл (1). После интегрирования получим формулу средних (прямоугольников)
(5)
где первое слагаемое имеет смысл площади прямоугольника высотой f(`х) с основанием b-a. Второе слагаемое _— главный член погрешности, имеющий второй порядок малости по отношению к основной формуле.
Так как b-a обычно не мало, то сначала следует разделить интервал интегрирования на n подынтервалов с узлами хi (i= 0,`n); x0=a, xn=bn применить формулу средних на каждом подынтеграле, получив обобщенную формулу средних:
(6)
Здесь hi=xi-xi-1 - шаг сетки, `хi=(xi=1+xi)/2 - средняя точка i-го подынтервала, `fi=f(`xi).
Для равномерной сетки формула (6) принимает вид
(7)
Если подынтегральная функция задана аналитически, то погрешность квадратурной формулы (7) можно оценить апостериорно:
(8)
Это слагаемое можно учесть в основном результате. Тогда точность формулы повысится и погрешность ее будет определяться слагаемым с более высоким порядком малости
Определение погрешности Погрешность ошибка некоторой величины это разность... Способы оценки погрешности... Различают априорную и апостериорную оценки погрешности...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Формула средних
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение погрешности
Физические величины почти всегда известны приближенно, с погрешностью, если только речь не идет о целочисленных величинах или физических эталонах.
Погрешность (
Источники погрешности
В теоретических исследованиях выделяют следующие источники погрешности:
- погрешность исходных данных;
- погрешность математической модели
Задачи аппроксимации и интерполяции
Часто функции либо имеют очень громоздкое аналитическое выражение, либо заданы таблично. В этом случае имеет смысл на некотором интервале заменить заданную функцию y(x) приближенным аналитическим,
Интерполяционный многочлен Ньютона.
Наиболее проста и универсальна интерполяция степенными функциями
. (2.7)
Можно показать, что условие (6) при этом всегда в
Погрешность и трудоемкость интерполяции
Известные в литературе априорные оценки погрешности интерполяции на практике неприменимы, т.к. они требуют знания производных от функции y(x).
Для апостериорной оценки погрешнос
Нелинейная интерполяция
Полиномиальная интерполяция не всегда сходится. Ряд (17) расходится для быстро изменяющихся функций (для сетки с большим шагом). В этом случае следует применить метод выравнивания
Эрмитова интерполяция
Постановка задачи эрмитовой интерполяции: таблично задана функция y(x), а также ее производные:
Интерполяция сплайнами
Сплайн - непрерывная кусочно - полиномиальная функция. Ее степень в задачах интерполяции не зависит от числа узлов и поэтому сплайны эффективны при многоузловой
Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
В прикладных задачах бывает необходимо аппроксимировать функцию единым аналитическим выражением на большом интервале изменения независимой переменной, что невозможно методами интерп
Двумерная интерполяция
Пусть функция z=z(x, y) задана таблично на прямоугольной сетке:
(43)
Необ
Полиномиальные формулы
Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если она задана таблично. Оно используется также при реш
Конечноразностные формулы
Часто требуется найти производные от функций, заданных на равномерной сетке и не в произвольной точке, а в узле сетки. Тогда можно получить формулы более простые, чем в общей постан
Метод Рунге - Ромберга
Этот метод позволяет, применяя формулы р-го порядка точности, получить результат (р+1)-го порядка точности.
Пусть приближенное значение некоторой величины на сетке с шагом
Вычисление интегралов
4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Даже если функция f(x) задана аналитически, вычислить интеграл
Формула трапеций
Если аппроксимировать подынтегральную функцию в (1) многочленом Лагранжа:
(10)
Формула Симпсона
Еще одна возможность получения квадратурных формул - использование метода Рунге-Ромберга (подраздел 3.3). Для вычисления интеграла
Нестандартные случаи интегрирования
Вычисление интеграла от функции, разрывной в точке х=с (а<с<в), возможно с высокой точностью, если интеграл предварите
Корректность задачи
Задача поставлена корректно, если:
1) решение задачи существует;
2) оно единственно,
3) решение непрерывно зависит от входных данных.
Вхо
Метод прогонки
Если матрица СЛАУ ленточная трехдиагональная, то метод Гаусса принимает более компактную форму и называется методом прогонки. СЛАУ при этом имеет следующий вид:
Метод LU-разложения
Матрица A СЛАУ
, (5.21)
если все главные миноры матрицы A отличны от ну
Метод квадратного корня
Если СЛАУ имеет симметричную матрицу, то для последней возможно представление
A = STDS,(5.29)
где S- верхняя треугольная матрица,
Итерационные методы решения СЛАУ
Итерационные методы решения СЛАУ заключаются в построении последовательности векторов (k=0,1,2,…), сходящейся к вектору
Итерационный метод вращений (Якоби)
Метод применим к симметричным матрицам и состоит в приведении заданной матрицы .к диагональному виду с помощью беско
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
Новости и инфо для студентов