Погрешность и трудоемкость интерполяции - раздел Образование, Погрешность. Определение погрешности Известные В Литературе Априорные Оценки Погрешности Интерполяции На Практике ...
Известные в литературе априорные оценки погрешности интерполяции на практике неприменимы, т.к. они требуют знания производных от функции y(x).
Для апостериорной оценки погрешности возможны два подхода.
А. Формула (15) представляется как частичная сумма ряда
(2.20)
где первые n+1 слагаемое - это правая часть формулы (15), а r - остаток ряда, погрешность этой формулы. Если , то можно рассчитывать на быструю сходимость ряда и оценивать погрешность так:
(2.21)
или
(2.22)
Б. Один из узлов сетки xn+1 (т.н. контрольный узел) не используется для интерполяции. Тогда погрешность интерполяции в этом узле
(2.23)
Если погрешность интерполяции недопустимо велика, то уменьшить ее можно двумя путями.
А. Можно увеличить число узлов интерполяции. Но более пяти узлов использовать не рекомендуется, т.к. полином высокой степени чувствителен к погрешностям исходных данных и округления.
Б. Можно выбрать сетку с более мелким шагом, что ускоряет сходимость ряда (20).
Трудоемкость вычислений для ЭВМ приближенно оценивается по количеству наиболее трудоемких вычислительных операций.
А. Формула Ньютона (15) содержит n(n-1)/2 делений для вычисления разделенных разностей (9) и столько же умножений при вычислении функции (15) для каждого значения х.
Б. Вычисление функции по формуле (16) использует всего n умножений.
В. В формулах Лагранжа для вычисления знаменателей функций (19) требуется (n+1)(n-1) умножений и для вычисления самой функции (17) - (n+1)*(n+1) умножений и делений.
Определение погрешности Погрешность ошибка некоторой величины это разность... Способы оценки погрешности... Различают априорную и апостериорную оценки погрешности...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Погрешность и трудоемкость интерполяции
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Определение погрешности
Физические величины почти всегда известны приближенно, с погрешностью, если только речь не идет о целочисленных величинах или физических эталонах.
Погрешность (
Источники погрешности
В теоретических исследованиях выделяют следующие источники погрешности:
- погрешность исходных данных;
- погрешность математической модели
Задачи аппроксимации и интерполяции
Часто функции либо имеют очень громоздкое аналитическое выражение, либо заданы таблично. В этом случае имеет смысл на некотором интервале заменить заданную функцию y(x) приближенным аналитическим,
Интерполяционный многочлен Ньютона.
Наиболее проста и универсальна интерполяция степенными функциями
. (2.7)
Можно показать, что условие (6) при этом всегда в
Нелинейная интерполяция
Полиномиальная интерполяция не всегда сходится. Ряд (17) расходится для быстро изменяющихся функций (для сетки с большим шагом). В этом случае следует применить метод выравнивания
Эрмитова интерполяция
Постановка задачи эрмитовой интерполяции: таблично задана функция y(x), а также ее производные:
Интерполяция сплайнами
Сплайн - непрерывная кусочно - полиномиальная функция. Ее степень в задачах интерполяции не зависит от числа узлов и поэтому сплайны эффективны при многоузловой
Аппроксимация функций методом наименьших квадратов
В прикладных задачах бывает необходимо аппроксимировать функцию единым аналитическим выражением на большом интервале изменения независимой переменной, что невозможно методами интерп
Двумерная интерполяция
Пусть функция z=z(x, y) задана таблично на прямоугольной сетке:
(43)
Необ
Полиномиальные формулы
Численное дифференцирование применяется, если функцию y(x) трудно или невозможно продифференцировать аналитически, например, если она задана таблично. Оно используется также при реш
Конечноразностные формулы
Часто требуется найти производные от функций, заданных на равномерной сетке и не в произвольной точке, а в узле сетки. Тогда можно получить формулы более простые, чем в общей постан
Метод Рунге - Ромберга
Этот метод позволяет, применяя формулы р-го порядка точности, получить результат (р+1)-го порядка точности.
Пусть приближенное значение некоторой величины на сетке с шагом
Вычисление интегралов
4.1. Квадратурные формулы Ньютона-Котеса
Даже если функция f(x) задана аналитически, вычислить интеграл
Формула средних
Самая простая квадратурная формула — одноузловая. Наиболее рационально выбирать этот узел посредине интервала, в точке `х=(a+b)/2. Для вывода формулы разложим подынтегральную функци
Формула трапеций
Если аппроксимировать подынтегральную функцию в (1) многочленом Лагранжа:
(10)
Формула Симпсона
Еще одна возможность получения квадратурных формул - использование метода Рунге-Ромберга (подраздел 3.3). Для вычисления интеграла
Нестандартные случаи интегрирования
Вычисление интеграла от функции, разрывной в точке х=с (а<с<в), возможно с высокой точностью, если интеграл предварите
Корректность задачи
Задача поставлена корректно, если:
1) решение задачи существует;
2) оно единственно,
3) решение непрерывно зависит от входных данных.
Вхо
Метод прогонки
Если матрица СЛАУ ленточная трехдиагональная, то метод Гаусса принимает более компактную форму и называется методом прогонки. СЛАУ при этом имеет следующий вид:
Метод LU-разложения
Матрица A СЛАУ
, (5.21)
если все главные миноры матрицы A отличны от ну
Метод квадратного корня
Если СЛАУ имеет симметричную матрицу, то для последней возможно представление
A = STDS,(5.29)
где S- верхняя треугольная матрица,
Итерационные методы решения СЛАУ
Итерационные методы решения СЛАУ заключаются в построении последовательности векторов (k=0,1,2,…), сходящейся к вектору
Итерационный метод вращений (Якоби)
Метод применим к симметричным матрицам и состоит в приведении заданной матрицы .к диагональному виду с помощью беско
Новости и инфо для студентов