Полный факторный эксперимент первого порядка

При планировании по схеме ПФЭ первого порядка реализуются все возможные комбинации факторов на двух выбранных для исследования уровнях. Необходимое количество опытов N при ПФЭ определяется из соотношения где k – число факторов, 2 – означает, что каждый фактор имеет два уровня варьирования. Уровни факторов представляют собой границы исследуемой области по данному технологическому параметру.

Например, изучается влияние на выход продукта Y,% трех факторов: температуры Z₁ (100–200 °С), давления Z₂ (2–6×10⁵ Па) и времени пребывания Z₃ (10–20 мин). Верхний уровень по температуре равен 200°С, нижний – 100°С, тогда для Z₁ имеем:

.

Вообще для любого фактора Z_j:

(2)

 

(3)

Точка с координатами называется центром плана, – интервал варьирования по j–фактору.

Перейдем к безразмерной системе координат по формуле

. (4)

Для безразмерной системы координат

В рассматриваемом примере . Число опытов, представляющее число всех возможных комбинаций уровней факторов, N = 2³ = 8. План проведения эксперимента (матрица планирования) записывается в виде таблицы (табл. 1). В приведенном плане x₀– фиктивная переменная, равная единице; каждый из N опытов повторяется m раз, т.е. проводится m параллельных опытов, что позволяет рассчитать ошибку эксперимента и оценить в дальнейшем адекватность уравнения регрессии. Данный план позволяет получить коэффициенты линейного уравнения регрессии

(5)

Приведенная матрица планирования обладает свойствами ортогональности

, (6)

 

симметричности

, (7)

 

нормировки

, (8)

 

которые уменьшают трудности, связанные с расчетом коэффициентов уравнения регрессии.

 

Таблица 1

№ оп	X0	Х1	Х2	Х3	Y
	+1	–1	–1	–1
	+1	–1	–1	+1
	+1	–1	+1	–1
	+1	–1	+1	+1
	+1	+1	–1	–1
	+1	+1	–1	+1
	+1	+1	+1	–1
	+1	+1	+1	+1

Ортогональные планы ПФЭ (для линейных моделей) обладают также рототабельностью. Последнее предполагает равенство и минимальность дисперсий рассчитанных по уравнению регрессии значений выходной переменной для всех точек факторного пространства. По закону накопления ошибок для дисперсии рассчитанных значений выходной переменной можно записать:

(9)

Дисперсии коэффициентов уравнения регрессии равны между собой и, следовательно, или с учетом того, что (– радиус сферы), Отсюда следует, что дисперсия рассчитанного значения выходной переменной зависит только от радиуса сферы.

Если в рассмотрение ввести более полное уравнение регрессии с учетом взаимодействия факторов

(10)

то для определения коэффициентов необходимо расширить матрицу планирования следующим образом:

Таблица 2

№ оп.	X0	Х1	Х2	Х3	Х1Х2	Х1Х3	Х2Х3	Х1Х2Х3	Y
	+1	–1	–1	–1	+1	+1	+1	–1
	+1	–1	–1	+1	+1	–1	–1	+1
	+1	–1	+1	–1	–1	+1	–1	+1
	+1	–1	+1	+1	–1	–1	+1	–1
	+1	+1	–1	–1	–1	–1	+1	+1
	+1	+1	–1	+1	–1	+1	–1	–1
	+1	+1	+1	–1	+1	–1	–1	–1
	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1	+1

 

Значения элементов в дополнительных столбцах расширенной матрицы планирования (табл. 2) представляют собой парное или тройное произведение элементов соответствующих основных столбцов.