ІНТЕРПОЛЮВАННЯ ФУНКЦІЙ.

Мета роботи – вивчення та набуття навичок складання алгоритмів та написання програм інтерполювання функції за методом Ейткіна.

28.1. Загальні відомості

На практиці трапляються випадки, коли функція, її похідна чи інтеграл обчислюються з великими труднощами. Крім того, часто для функції аналітичний вираз взагалі невідомий, а відомі тільки її значення в скінченній кількості точок. Ці значення можуть бути навіть наближеними (наприклад, знайдені експериментально). Тому виникає потреба вихідну функцію наближено замінити іншою простішою (наприклад, поліномом), яка зображала б першу в обчисленнях.

Якщо відомі значення функції в кількох точках, то наближену функцію можна вибирати так, щоб вона в цих точках збігалась з вихідною.

Нехай в точках х₀, х_и ... , х_п проміжку [а, b] відомі значення функції y = f(x):y_o=f (х₀), у_n == f (х_n).

Заміна функції у = f (х) на проміжку [а, b] деякою іншою функцією φ(х),яка в точках х₀, х_х, ... , х_п набуває тих самих значень, що й функція y — f(x)

називається інтерполюванням, або інтерполяцією. Точки х₀, х_и ... , х_п називаються вузлами інтерполювання, а формула у = j (х), яку при цьому виводимо для обчислення значень y =f(х), — інтерполяційною формулою.

У геометричному тлумаченні задачу інтерполювання можна розуміти як задачу знаходження лінії y=j (х), яка проходить через точки площини з координатами (х₀, у₀), (x₁ y₁), ... , (х_п, у_п) (мал. 1).

Кривих, які проходять через дані точки, можна провести безліч. У практичних задачах бажано функцію j (х) брати по можливості простішою. Знайдемо j (х), у вигляді полінома, степінь якого не більший від п. Інтерполювання в цьому разі називається поліноміальним або параболічним.

З’ясуємо, скільки розв'язків має задача параболічного інтерполювання. Відповідь на це запитання дає твердження: Якщо існує многочлен Р_п(х), степінь якого не вищий від n і такий, що

Р_п (x₀) = У₀, P_п(Х₁) = У₁ , Р_п(Х_п) = y_п (x_i ≠ x_j при i≠ j) тo він єдиний.

Припустимо, що, крім згаданого многочлена Р_п(х), існує відмінний від нього многочлен Q_n(x), степінь якого не вищий від п i такий, що Q_n (х_i)=y_i (i= 0, 1, ... , n). Тоді многочлен Т_n(х) = Р_п(х) — Q_n(x), степінь якого, очевидно, не вищий від п, набуває значення нуль в (n+1)-ій точці х₀, х₁ ... , х_п, звідки

T_n(x) = P_n(x)-Q_n(x)≡0

тобто

P_n(x) ≡Q_n(x

Існування інтерполяційного многочлена буде доведено далі його побудовою.

Хоч інтерполяційний многочлен Р_п(х) єдиний проте можливі різні форми його запису, які мають ті чи інші особливості під час обчислень.

Інтерполяційний многочлен Р_п(х) часто застосовують для наближеного обчислення значень функції у = f(х) при тих значеннях аргументу, яких немає в таблиці (тобто відмінних від вузлів інтерполювання). У цьому разі інтерполювання можна назвати «мистецтвом читання між рядками таблиці». Інтерполяційні многочлени використовують також при. знаходженні похідних від функцій, при інтегруванні тощо.