Теоретическая часть

Теоретическая часть. Метод Гаусса Одним из самых распространенных методов решения систем линейных уравнений является метод Гаусса.

Этот метод который также называют методом последовательного исключения неизвестных известен в различных вариантах уже более 2000 лет. Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном исключении неизвестных из системы для преобразования ее к эквивалентной системе с верхней треугольной матрицей. Вычисления значений неизвестных производят на этапе обратного хода. 1. Схема единственного деления. Рассмотрим сначала простейший вариант метода Гаусса, называемый схемой единственного деления.

Прямой ход состоит из n 1 шагов исключения. 1-й шаг. Целью этого шага является исключение неизвестного x1 из уравнений с номерами i 2, 3 n. Предположим, что коэффициент a0. Будем называть его главным элементом 1-го шага. Найдем величины qi1 ai1a11 i 2, 3 n, называемые множителями 1-го шага. Вычтем последовательно из второго, третьего n-го уравнений системы первое уравнение, умноженное соответственно на q21, q31 qn1. Это позволит обратить в нуль коэффициенты при x1 во всех уравнениях, кроме первого.

В результате получим эквивалентную систему a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 , a221x2 a231x3 a2n1xn b21 , a321x2 a331x3 a3n1xn b31 an21x2 an31x3 ann1xn bn1 . в которой aij1 и bij1 вычисляются по формулам aij1 aij - qi1a1j, bi1 bi - qi1b1. 2-й шаг. Целью этого шага является ислючение неизвестного x2 из уравнений с номерами i 3, 4 n. Пусть a221 0, где a221 коэффициент, называемый главным или ведущим элементом 2-го шага. Вычислим множители 2-го шага qi2 ai21 a221 i 3, 4 n и вычтем последовательно из третьего, четвертого n-го уравнения системы второе уравнение, умноженное соответственно на q32, q42 qm2. В результате получим систему a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 , a221x2 a231x3 a2n1 b21 , a332x3 a3n2xn b32 an32x3 ann2xn bn2 . Здесь коэффициенты aij2 и bij2 вычисляются по формулам aij2 aij1 qi2a2j1 , bi2 bi1 qi2b21. Аналогично проводятся остальные шаги. Опишем очередной k-й шаг. k-й шаг. В предположении, что главный ведущий элемент k-го шага akkk 1 отличен от нуля, вычислим множители k-го шага qik aikk 1 akkk 1 i k 1 n и вычтем последовательно из k 1-го n-го уравнений полученной на предыдущем шаге системы k-e уравнение, умноженное соответственно на qk1,k, qk2,k qnk. После n - 1-го шага исключения получим систему уравнений a11x1 a12x2 a13x3 a1nxn b1 , a221x2 a231x3 a2n1xn b21 , a332x3 a3n2xn b32 annn 1xn bnn 1 . матрица An-1 которой является верхней треугольной.

На этом вычисления прямого хода заканчиваются.

Обратный ход. Из последнего уравнения системы находим xn. Подставляя найденное значение xn в предпоследнее уравнение, получим xn 1. Осуществляя обратную подстановку, далее последовательно находим xn 1, xn 2 x1. Вычисления неизвестных здесь проводятся по формулам xn bnn 1 annn 1, xk bnk 1 ak, k1k 1xk1 aknk 1xn akkk 1, k n 1. Необходимость выбора главных элементов. Заметим, что вычисление множителей, а также обратная подстановка требуют деления на главные элементы akkk 1. Поэтому если один из главных элементов оказывыется равным нулю, то схема единственного деления не может быть реализована.

Здравый смысл подсказывает, что и в ситуации, когда все главные элементы отличны от нуля, но среди них есть близкие к нулю, возможен неконтролируемый рост погрешности. 1.1.2. Метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцу схема частичного выбора.

Описание метода.

На k-м шаге прямого хода коэффициенты уравнений системы с номерами i k 1 n преобразуются по формулам aijk aijk 1 - qikakj, bik bik 1 - qikbkk 1 , i k 1 n. Интуитивно ясно, что во избежание сильного роста коэффициентов системы и связанных с этим ошибок нельзя допускать появления больших множителей qik. В методе Гаусса с выбором главного элементоа по столбцу гарантируется, что qik 1 для всех k 1, 2 n 1 и i k 1 n. Отличие этого варианта метода Гаусса от схемы единственного деления заключается в том, что на k-м шаге исключения в качестве главного элемента выбирают максимальный по модулю коэффициент aikk при неизвестной xk в уравнениях с номерами i k 1 n. Затем соответствующее выбранному коэффициенту уравнение с номером ik меняют местами с k-м уравнением системы для того, чтобы главный элемент занял место коэффициента akkk-1. После этой перестановки исключение неизвестного xk производят, как в схеме единственного деления. 1.1.3. Метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице схема полного выбора.

В этой схеме допускается нарушение естественного порядка исключения неизвестных. На 1-м шаге мтода среди элементов aij определяют максимальный по модулю элемент ai1j1. Первое уравнение системы и уравнение с номером i1 меняют местами.

Далее стандартным образом производят исключение неизвестного xi1 из всех уравнений, кроме первого. На k-м шаге метода среди коэффициентов aijk 1 при неизвестных в уравнениях системы с номерами i k n выбирают максимальный по модулю коэффициент aikjkk-1. Затем k-е уравнение и уравнение, содержащее найденный коэффициент, меняют местами и исключают неизвестное xjk из уравнений с номерами i k 1 n. На этапе обратного хода неизвестные вычисляют в следующем порядке xjn, xjn 1 xj1. 1.2. Метод Зейделя 1.2.1. Приведение системы к виду, удобному для итераций.

Для того чтобы применить метод Зейделя к решению системы линейных алгебраических уравнений Ax b с квадратной невырожденной матрицей A, необходимо предварительно преобразовать эту систему к виду x Bx c. Здесь B квадратная матрица с элементами bij i, j 1, 2 n, c вектор-столбец с элементами cij i 1, 2 n. В развернутой форме записи система имеет следующий вид x1 b11x1 b12x2 b13x3 b1nxn c1 x2 b21x1 b22x2 b23x3 b2nxn c2 xn bn1x1 bn2x2 bn3x3 bnnxn cn Вообще говоря, операция приведения системы к виду, удобному для итераций, не является простой и требует специальных знаний, а также существенного использования специфики системы.

Самый простой способ приведения системы к виду, удобному для итераций, состоит в следующем.

Из первого уравнения системы выразим неизвестное x1 x1 a11 1 b1 a12x2 a13x3 a1nxn, из второго уравнения неизвестное x2 x2 a21 1 b2 a22x2 a23x3 a2nxn, и т. д. В результате получим систему x1 b12x2 b13x3 b1,n 1xn 1 b1nxn c1 , x2 b21x1 b23x3 b2,n 1xn 1 b2nxn c2 , x3 b31x1 b32x2 b3,n 1xn 1 b3nxn c3 xn bn1x1 bn2x2 bn3x3 bn, n 1xn 1 cn, в которой на главной диагонали матрицы B находятся нулевые элементы.

Остальные элементы выражаются по формулам bij aij aii, ci bi aii i, j 1, 2 n, j i Конечно, для возможности выполнения указанного преобразования необходимо, чтобы диагональные элементы матрицы A были ненулевыми. 1.2.1. Описание метода. Введем нижнюю и верхнюю треугольные матрицы 0 0 0 0 0 b12 b13 b1n b21 0 0 0 0 0 b23 b2n B1 b31 b32 0 0 , B2 0 0 0 b3n bn1 bn2 bn3 0 0 0 0 0 Заметим, что B B1 B2 и поэтому решение x исходной системы удовлетворяет равенству x B1x B2 x c. Выберем начальное приближение x0 x10, x20 xn0T. Подставляя его в правую часть равенства при верхней треугольной матрице B2 и вычисляя полученное выражение, находим первое приближение x1 B1x0 B2x1 Подставляя приближение x1, получим x2 B1x1 B2x2 Продолжая этот процесс далее, получим последовательность x0, x1 xn, приближений к вычисляемых по формуле xk1 B1k1 B2k c или в развернутой форме записи x1k1 b12x2k b13x2k b1nxnk c1 , x2k1 b21x1k1 b23x3k b2nxnk c2 , x3k1 b31x1k1 b32x2k1 b3nxnk c3 xnk1 bn1x1k1 bn2x2k1 bn3x3k1 cn. Объединив приведение системы к виду, удобному для итераций и метод Зейделя в одну формулу, получим xik1 xik aii 1j1i 1 aijxjk1 j1n aijxik bi. Тогда достаточным условием сходимоти метода Зейделя будет j1, ji n aij aii условие доминированния диагонали. Метод Зейделя иногда называют также методом Гаусса-Зейделя, процессом Либмана, методом последовательных замещений. 1.3.