Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Гаусса и Зейделя

Содержание Введение 1. Теоретическая часть 1. Метод Гаусса 2. Метод Зейделя 3. Сравнение прямых и итерационных методов 2. Практическая часть 2.1 Программа решения системы линейных уравнений по методу Гаусса 2.2 Программа решения системы линейных уравнений по методу Зейделя 10 Введение Решение систем линейных алгебраических уравнений одна из основных задач вычислительной линейной алгебры.

Хотя задача решения системы линейных уравнений сравнительно редко представляет самостоятельный интерес для приложений, от умения эффективно решать такие системы часто зависит сама возможность математического моделирования самых разнообразных процессов с применением ЭВМ. Значительная часть численных методов решения различных в особенности нелинейных задач включает в себя решение систем линейных уравнений как элементарный шаг соответствующего алгоритма. Одна из трудностей практического решения систем большой размерности связанна с ограниченностью оперативной памяти ЭВМ. Хотя обьем оперативной памяти вновь создаваемых вычислительных машин растет очень быстро, тем не менее, еще быстрее возрастают потребности практики в решении задач все большей размерности.

В значительной степени ограничения на размерность решаемых систем можно снять, если использовать для хранения матрицы внешние запоминающие устройства. Однако в этом случае многократно возрастают как затраты машинного времени, так и сложность соответствующих алгоритмов.

Поэтому при создании вычислительных алгоритмов линейной алгебры большое внимание уделяют способам компактного размещения элементов матриц в памяти ЭВМ. К счастью, приложения очень часто приводят к матрицам, в которых число ненулевых элементов много меньше общего чила элементов матрицы. Такие матрицы принято называть разреженными. Одним из основных источников разреженных матриц являются математические модели технических устройств, состоящих из большого числа элементов, связи между которыми локальны.

Простейшие примеры таких устройств сложные строительные конструкции и большие электрические цепи. Известны примеры решенных в последние годы задач, где число неизвестных достигало сотен тысяч. Естественно, это было бы невозможно, если бы соответствующие матрицы не являлись разреженными матрица системы из 100 тыс. уравнений в формате двойной точности заняла бы около 75 Гбайт. 1.

Теоретическая часть

Вычисления с помощью метода Гаусса заключаются в последовательном искл... Найдем величины qi1 ai1a11 i 2, 3 n, называемые множителями 1-го шага. В методе Гаусса с выбором главного элементоа по столбцу гарантируется,... Метод Зейделя 1.2.1. Здесь B квадратная матрица с элементами bij i, j 1, 2 n, c вектор-стол...

Сравнение прямых и итерационных методов

Большая эффективность итерационных методов по сравнению с прямыми мето... . Итерационные методы применяют главным образом для решения задач большо... Системы линейных алгебраических уравнений можно решать как с помощью п... 2.

Практическая часть

В том случае если максимальный элемент находится не в k-й строке, стро... Листинг программы и результаты работы Uses CRT Const maxn 10 Type Data... Программа решения систем линейных уравнений по методу Гаусса Введите п... 10 4 Введите расширенную матрицу системы A 1 2 3 4 b 1 3.2 5.4 4.2 2.2... 2.2.4.