ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ЗАДАЧИ ЛИНЕЙНОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

Пример 2.1. Пусть требуется определить план выпуска четырёх видов продукции П₁, П₂, П₃, П₄, для изготовления которых необходимы ресурсы трёх видов: трудовые, материальные, финансовые. Количество каждого i-го вида ресурса для производства каждого j-го вида продукции называют нормой расхода и обозначают a_{i j}. Количество каждого вида ресурса, которое имеется в наличии, обозначают b_i (табл.2.1.).

Из таб.2.1 видно, что для выпуска единицы продукции, например вида П₂, требуется две единицы трудовых ресурсов, П₃ – четыре единицы материальных ресурсов и т.д.; предприятие располагает 100 единицами финансовых ресурсов, 40 единицами трудовых, исходя из спроса заданы верхние и нижние пределы границы выпуска каждого вида продукции.

Таблица 2.1

На основании исходных данных требуется составить математическую модель для определения плана выпуска продукции.

Решение. Обозначим через х₁, х₂, х₃, х₄ – количество выпускаемой продукции видов П₁, П₂, П₃, П₄, которое надо найти.

Теперь составляем ограничения. Из табл.2.1 видно, что для выпуска единицы продукции П₁ требуется одна единица трудовых ресурсов, П₂, П₃, П₄ – соответственно 2, 3, 4 единиц трудовых ресурсов. Тогда потребный трудовой ресурс для выпуска всех видов продукции будет равен х₁+2х₂+3х₃+4х₄.

Очевидно, что потребный ресурс не может превышать располагаемый, т.е. для трудового ресурса справедливо неравенство

х₁ +2х₂+3х₃+4х₄ £ 40,

где 40 – располагаемый ресурс (табл.2.1).

Если составить аналогичные зависимости для остальных видов ресурсов и добавить предельно допустимые значения для выпуска каждого вида продукции, то получим систему:

(3)

В этой системе неравенства, устанавливающие зависимости для ресурсов – ограничения, а предельно допустимые значения переменных – граничные условия. В ограничениях левые части неравенства – потребные ресурсы, а правые – располагаемые.

Если в неравенства ввести дополнительные переменные у₁³0, у₂³0, у₃³0, то можно записать

(4)

В этой системе дополнительные переменные – это разность между располагаемым ресурсом и потребным и, следовательно, равные неиспользуемому ресурсу, т.е. это резервы каждого вида ресурсов.

Очевидно, что система (4), содержащая три уравнения и семь переменных, имеет бесчисленное множество решений, т.е. различных вариантов плана. Все эти возможные варианты, удовлетворяющие системе (3), являются допустимыми планами.

Если получить оптимальное решение очень важно, то иметь допустимое решение – необходимо.

Любая правильно составленная задача планирования (как и в данном примере) имеет бесчисленное множество допустимых решений. Какое из них выбрать?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сформулировать задачу оптимизации в какой-либо из двух взаимоисключающих постановок.

Обозначим: Q – ресурсы, R – результат их применения. Тогда при заданных зависимостях результата и потребных ресурсов от количества выпускаемой продукции R = f(x _j), Q = j(x _j) обе постановки распределения ресурсов можно записать:

где Q_пл, R_пл – заданные (плановые или прогнозируемые) значения ресурсов результата.

Для составления модели в какой-либо постановке потребуются дополнительные данные: прибыль от реализации единицы продукции каждого вида и плановая прибыль в целом от производства всей продукции.

Пусть для продукции видов П₁, П₂, П₃, П₄ она составит соответственно 60, 70, 120, 130, а суммарная прибыль от всего производства должна быть не менее 1000.

Тогда для первой постановки к системе (3) добавляем ЦФ и получаем математическую модель:

Для второй постановки:

Так как у₁, у₂, у₃ – резервы по ресурсам, то максимизация их суммы обеспечивает минимизацию используемых ресурсов.

В результате решения задачи в двух постановках (табл.2.2), видно, что эти результаты тоже различные.

Таблица 2.2

В первой постановке maxR₁ = 1350, общее количество использованных ресурсов Q = 180,5. При этом ресурсы оказались подразделёнными на две группы: лимитирующие, для которых y_i = 0, и нелимитирующие, для которых y_i >0. К первой группе относят финансы, ко второй – трудовые и материальные. Значит, увеличение финансов приведёт к увеличению прибыли, а рост трудовых и материальных – нет. Отсюда вывод: для увеличения выпуска продукции не требуется увеличение всех ресурсов, а только – лимитирующих (на практике – требуют всех).

Во второй постановке общее число использованных ресурсов Q₂ = 137 и для всех их видов есть резервы. Дальнейшее уменьшение ресурсов ограничено требованием прибыли (не менее 1000).