рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Анализ сетей Петри

Анализ сетей Петри - раздел Программирование, Математические основы программирования. Теория схем программ. Семантическая теория программ Моделирование Систем Сетями Петри, Прежде Всего, Обусловлено Необходимостью П...

Моделирование систем сетями Петри, прежде всего, обусловлено необходимостью проведения глубокого исследования их поведения. Для проведения такого исследования необходимы методы анализа свойств самих сетей Петри. Этот подход предполагает сведения исследования свойств реальной системы к анализу определенных свойств моделирующей сети Петри.

4.4.1. Свойства сетей Петри.

Позиция pÎP сети Петри N=(P,Т,I,O) c начальной маркировкой m является k-ограниченной, если m’(p)£k для любой достижимой маркировки m’ÎR(N,m). Позиция называется ограниченной, если она является k-ограниченной для некоторого целого значения k. Сеть Петри ограниченна, если все ее позиции ограниченны.

Позиция pÎP сети Петри N=(P,Т,I,O) c начальной маркировкой m является безопасной, если она является 1-ограниченной.Сеть Петри безопасна, если безопасны все позиции сети.

Сеть Петри N=(P,Т,I,O) с начальной маркировкой m является сохраняющей, если для любой достижимой маркировки m’ÎR(N,m) справедливо следующее равенство.

m’(p).

Тупик в сети Петри – один или множество переходов, которые не могут быть запущены. Определим для сети Петри N с начальной маркировкой m следующие уровни активности переходов:

Уровень 0: Переход t обладает активностью уровня 0 и называется мёртвым, если он никогда не может быть запущен.

Уровень 1: Переход t обладает активностью уровня 1 и называется потенциально живым, если существует такаяm’ÎR(N,m), что t разрешён в m’.

Уровень 2: Переход t, обладает активностью уровня 2 и называется живым, если для всякой m’ÎR(N,m) переход t является потенциально живым для сети Петри N с начальной маркировкой m’.

Сеть Петри называется живой, если все её переходы являются живыми.

Задача достижимости: Для данной сети Петри с маркировкойm и маркировки m’ определить: m’ÎR(N,m)?

Задача покрываемости:Для данной сети Петри N с начальной маркировкой m и маркировки m’ определить, существует ли такая достижимая маркировка m”ÎR(N,m), что m">³m’.

(Отношение m"³m’ истинно, если каждый элемент маркировки m" не меньше соответствующего элемента маркировки m’.)

Сети Петри присуще некоторое поведение, которое определяется множеством ее возможных последовательностей запусков переходов или ее множеством достижимых маркировок. Понятие эквивалентности сетей Петри определяется через равенство множеств достижимых маркировок.

Сеть Петри N=(P,Т,I,O) с начальной маркировкой m и сеть Петри N’=(P’,Т’,I’,O’) с начальной маркировкой m’ эквивалентны, если справедливо R(N,m)=R(N’,m’).

Понятие эквивалентности сетей Петри может быть определено также через равенство множеств возможных последовательностей запусков переходов.

Более слабым, по сравнению с эквивалентностью, является свойство включения, определение которого совпадает с определением эквивалентности, с точностью до замены = на Í.

4.4.2. Методы анализа.

Особый интерес вызывают методы анализа свойств сетей Петри, которые обеспечивают автоматический анализ моделируемых систем. Сначала рассмотрим метод анализа сетей Петри, который основан на использовании дерева достижимости.

4.4.2.1. Дерево достижимости.

Дерево достижимости представляет все достижимые маркировки сети Петри, а также – все возможные последовательности запусков ее переходов.

       
   
 

Пример 4.4.Частичное дерево достижимости маркированной сети Петри изображено на рисунке 4.10, а, а частичное дерево достижимости для трёх шагов построения имеет вид (рисунок 4.10, б).

Рисунок 4.10 а б

Для сети Петри с бесконечным множеством достижимых маркировок дерево достижимости является бесконечным. Сеть Петри с конечным множеством достижимых маркировок также может иметь бесконечное дерево достижимости (см. пример 4.4). Для превращения бесконечного дерева в полезный инструмент анализа строится его конечное представление. При построении конечного дерева достижимости для обозначения бесконечного множества значений маркировки позиции используется символ w. Также используются следующие ниже операции надw, определяемые для любого постоянного a.

w -- а = w; w + а = w; а < w; w £ w.

Алгоритм построения конечного дерева достижимости. Каждая вершина дерева достижимости классифицируется алгоритмом или как граничная вершина, терминальная вершина, дублирующая вершина, или как внутренняя вершина. Алгоритм начинает работу с определения начальной маркировки корнем дерева, и граничной вершиной. Один шаг алгоритма состоит в обработке граничной вершины. Пусть х граничная вершина, тогда её обработка заключается в следующем:

1. Если в дереве имеется другая вершина y, не являющаяся граничной, и с ней связана та же маркировка, m[x]=m[y], то вершина х становится дублирующей.

2. Если для маркировки m[х] ни один из переходов не разрешен, то x становится терминальной.

3. В противном случае, для всякого перехода tÎT, разрешенного в m[х], создаётся новая вершина z дерева достижимости. Маркировка m[z], связанная с этой вершиной, определяется для каждой позиции pÎP следующим образом:

3.1. Если m[х](p)=w, то m[z](p)=w.

3.2. Если на пути от корневой вершины к x существует вершина y с m[y]<m’ (где m’ – маркировка, непосредственно достижимая из m[х] посредством запуска перехода t) и m[y](p)<m’(p), то m[z](p)=w. (В этом случае последовательность запусков переходов, ведущая из маркировки m[y] в маркировку m’, может неограниченно повторяться и неограниченно увеличивать значение маркировки в позиции p.) В противном случае m[z](p)=m’(p).

4. Строится дуга с пометкой t, направленная от вершины x к вершине z. Вершина х становится внутренней, а вершина zграничной.

Такая обработка алгоритмом граничных вершин продолжается до тех пор, пока все вершины дерева не станут терминальными, дублирующими или внутренними. Затем алгоритм останавливается.

Важнейшим свойством алгоритма построения конечного дерева достижимости является то, что он за конечное число шагов заканчивает работу.

Пример 4.5.Конечное дерево достижимости сети Петри.

 
 

Сеть Петри:

Конечное дерево достижимости:

 
 

Важнейшим свойством алгоритма построения конечного дерева достижимости является то, что он за конечное число шагов заканчивает работу. Доказательство основано на трёх леммах.

Лемма 4.1. В любом бесконечном направленном дереве, в котором каждая вершина имеет только конечное число непосредственно последующих вершин, существует бесконечный путь, исходящий из корня.

Доказательство. Пусть x0 корневая вершина. Поскольку имеется только конечное число непосредственно следующих за x0 вершин, но общее число вершин в дереве бесконечно, по крайней мере, одна из непосредственно следующих за x0 вершин должна быть корнем бесконечного поддерева. Выберем вершину x1 непосредственно следующую за x0 и являющуюся корнем бесконечного поддерева. Теперь одна из непосредственно следующих за ней вершин также является корнем бесконечного поддерева, выберем в качестве такой вершины x2. Если продолжать этот процесс бесконечно, то получим бесконечный путь в дереве – x0,x1,x2,…,xn,… .

Лемма 4.2. Всякая бесконечная последовательность неотрицательных целых содержит бесконечную неубывающую последовательность.

Доказательство. Возможны два случая:

1. Если какой-либо элемент последовательности встречается бесконечно часто, то пусть x0 является таким элементом. Тогда бесконечная подпоследовательность x0,x0,…,x0,… является бесконечной неубывающей подпоследовательностью.

2. Если никакой элемент не встречается бесконечно часто, тогда каждый элемент встречается только конечное число раз. Пусть x0 — произвольный элемент последовательности. Существует самое большее x0 целых, неотрицательных и меньших, чем x0 (0,..., x0 - 1), причем каждый из них присутствует в последовательности только конечное число раз. Следовательно, продвигаясь достаточно долго по последовательности, мы должны встретить элемент x1, x1 ³ x0. Аналогично должен существовать в последовательности x2, x2 ³ x1, и т. д. Это определяет бесконечную неубывающую последовательность x0,x1,x2,…,xn,… .

Таким образом, в обоих случаях бесконечная неубывающая подпоследовательность существует.

Лемма 4.3. Всякая бесконечная последовательность n-векторов над расширенными символом w неотрицательными целыми содержит бесконечную неубывающую подпоследовательность.

Доказательство.Доказываем индукцией по n, где n размерность векторного пространства.

1. Базовый случай (n=1). Если в последовательности имеется бесконечное число векторов вида <w>, то они образуют бесконечную неубывающую последовательность (так как справедливо w £ w). В противном случае бесконечная последовательность, образованная удалением конечного числа экземпляров <w>, имеет по лемме 4.2 бесконечную неубывающую подпоследовательность.

2. Индуктивное предположение. (Допустим, что лемма верна для n докажем её справедливость для n+1.) Рассмотрим первую координату. Если существует бесконечно много векторов, имеющих. в качестве первой координаты w, тогда выберем эту бесконечную подпоследовательность, которая не убывает (постоянна) по первой координате. Если только конечное число векторов имеют w в качестве первой координаты, то рассмотрим бесконечную последовательность целых, являющихся значениями первых координат. По лемме 4.2 эта последовательность имеет бесконечную неубывающую подпоследовательность. Она определяет бесконечную Последовательность векторов, которые не убывают по своей первой координате.

В любом случае мы имеем последовательность векторов, неубывающих по первой координате. Применим индуктивное предположение к последовательности n-векторов, которая получается в результате отбрасывания первой компоненты n+1-векторов. Полученная таким образом бесконечная подпоследовательность является неубывающей по каждой координате.

Докажем следующую теорему.

Теорема 4.1. Дерево достижимости сети Петри конечно.

Доказательство. Докажем методом от противного. Допустим, что дерево достижимости бесконечно. Тогда по лемме 4.1 (и так как число вершин, следующих за каждой вершиной в дереве, ограничено числом переходов m) в нём имеется бесконечный путь x0,x1,x2,… , исходящий из корня x0. Тогда m[x0], m[x1], m[x2],… бесконечная последовательность n-векторов. над NatÈ{w}, а по лемме 4.3 она имеет бесконечную неубывающую подпоследовательность m[xk0]£m[xk1]£m[xk2]£….. . Но по построению дерева достижимости m[xi]¹m[xj] (для i¹j), поскольку тогда одна из вершин была бы дублирующей и не имела следующих за собой вершин. Следовательно, это бесконечная строго возрастающая последовательность m[xk0]<m[xk1]<m[xk2]….. . Но по построению, так как m[xi]<m[xj] нам следовало бы заменить по крайней мере одну компоненту m[xj], не являющуюся w, на w в m[xj]. Таким образом, m[xk1] имеет по крайней мере одну компоненту, являющуюся w, m[xk2] имеет по крайней мере две w-компоненты, а m[xkn] имеет по крайней мере n w-компонент. Поскольку маркировки n-мерные, m[xkn] имеет во всех компонентах w. Но тогда у m[xkn+1] не может быть больше m[xkn]. Пришли к противоречию, что доказывает теорему.

4.4.2.2. Анализ свойств сетей Петри на основе дерева достижимости.

Анализ безопасности и ограниченности. Сеть Петри ограниченна тогда и только тогда, когда символ w отсутствует в ее дереве достижимости.

Присутствие символа w в дереве достижимости (m[х](p)=w для некоторой вершины x и позиции p) означает, что для произвольного положительного целого k существует достижимая маркировка со значением в позиции p, большим, чем k (а также бесконечность множества достижимых маркировок). Это, в свою очередь, означает неограниченность позиции p, а следовательно, и самой сети Петри.

Отсутствие символа w в дереве достижимости означает, что множество достижимых маркировок конечно. Следовательно, простым перебором можно найти верхнюю границу, как для каждой позиции в отдельности, так и общую верхнюю границу для всех позиций. Последнее означает ограниченность сети Петри. Если граница для всех позиций равна 1, то сеть Петри безопасна.

Анализ сохранения. Так как дерево достижимости конечно, для каждой маркировки можно вычислить сумму начальной маркировки. Если эта сумма одинакова для каждой достижимой маркировки, то сеть Петри является сохраняющей. Если суммы не равны, сеть не является сохраняющей. Если маркировка некоторой позиции совпадает с w, то эта позиция должна был исключена из рассмотрения.

Анализ покрываемости. Задача покрываемости требуется для заданной маркировки m' определить, достижима ли маркировка m"³m'. Такая задача решается путём простого перебора вершин дерева достижимости. При этом ищется такая вершина х, что m[x]³m'. Если такой вершины не существует, то маркировка m' не является покрываемой. Если она найдена, то m[x] определяет покрывающую маркировку для m' Если компонента маркировки m[x], соответствующая некоторой позиции p совпадает с w, то конкретное её значение может быть вычислено. В этом случае на пути от начальной маркировки к покрывающей маркировке имеется повторяющаяся последовательность переходов, запуск которой увеличивает значение маркировки в позиции p. Число таких повторений должно быть таким, чтобы значение маркировки в позиции p превзошло или сравнялось с m'(p).

Анализ живости. Переход t сети Петри является потенциально живым, тогда и только тогда, когда он метит некоторую дугу в дереве достижимости этой сети.

Доказательство очевидно.

Ограниченность метода дерева достижимости. Как видно из предыдущего, дерево достижимости можно использовать для решения задач безопасности, ограниченности, сохранения и покрываемости. К сожалению, в общем случае его нельзя использовать для решения задач достижимости и активности, эквивалентности. Решение этих задач ограничено существованием символа w. Символ w означает потерю информации: конкретные количества фишек отбрасываются, учитывается только существование их большого числа.

4.4.2.3. Матричные уравнения.

Другой подход к анализу сетей Петри основан на матричном представлении сетей Петри и решении матричных уравнений. Альтернативным по отношению к определению сети Петри N в виде (P,T,I,O) является определение сети N в виде двух матриц D- и D+, представляющих входную и выходную функции I и O. Пусть каждая из матриц D- и D+ имеет m=êTê строк (по одной на переход) и n=êPê столбцов (по одному на позицию).

Матричный вид сети Петри N=(P,T,I,O) задаётся парой (D-,D+), где

D-[k,i] = ^#(pi,tk) – кратность дуги, ведущей из позиции pi в переход tk.

D+[k,i] = #^(pi,tk) – кратность дуги, ведущей из перехода tk в позицию pi,

для произвольных 1£k£m, 1£i£n.

Пусть e[k] — m-вектор, k-тый элемент которого равен 1, а остальные равны 0. Переход tk, 1£k£m, в маркировке m разрешен, если m³e[k]×D-. Результатом запуска разрешённого перехода tk в маркировке m является следующая ниже маркировка m’:

m’=m - e[k]×D- + e[k]×D+==m + e[k]×D,

где D=(D+ - D-) — составная матрица изменений.

 

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Математические основы программирования. Теория схем программ. Семантическая теория программ

Следуя А П Ершову мы употребляем термин теоретическое программирование в качестве названия математической дисциплины изучающей синтаксические.. В настоящее время сложились следующие основные направления исследований.. Математические основы программирования Основная цель исследований развитие математического аппарата..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Анализ сетей Петри

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Программа как формализованное описание процесса обработки данных
Целью программирования является описание процессов обработки данных (в дальнейшем - просто процессов). Данные - это представление фактов и идей в формализованном виде, пригодном для п

Правильная программа и надежная программа
Под «программой» часто понимают правильную программу, т.е. программу, не содержащую ошибок, соответствующую спецификации и дающую возможность формального вывода программы из формального набора пред

Стандартные схемы программ
1.2.1. Базис класса стандартных схем программ Стандартные схемы программ (ССП) характеризуются базисом и структурой схемы. Базис класса фиксирует символы, из которых строятся схем

Свойства и виды стандартных схем программ
1.3.1. Эквивалентность, тотальность, пустота, свобода ССП S в базисе В тотальна (пуста), если для любой интерпретации I базиса В программа (S, I) останавливается (зацикливает

Моделирование стандартных схем программ
1.4.1. Одноленточные автоматы Конечный одноленточный (детерминированный, односторонний) автомат обнаруживают ряд полезных качеств, используемых в теории схем программ для установлен

Рекурсивные схемы
1.5.1. Рекурсивное программирование Среди упомянутых выше методов формализации понятия вычислимой функции метод Тьюринга — Поста основан на уточнении понятия процесса вычислений, для чего

Трансляция схем программ
1.6.1. О сравнении класс сов схем. Программы для ЭВМ, будь-то программы, записанные на операторном языке, или программы на рекурсивном языке, универсальны в том смысле, что любую вычислиму

Обогащенные и структурированные схемы
1.7.1 Классы обогащенных схем Выделяют следующие классы обогащенных схем: класс счетчиковых схем, класс магазинных схем, класс схем с массивами. Классы счетчиковых и магази

Описание смысла программ
Существует несколько причин, по которым следует заниматься описанием семантикипрограмм, или смысла выражений, операторов и программных единиц. Руководство по использованию языка про

Преобразователь предикатов.
Э. Дейкстра рассматривает слабейшие предусловия, т.е. предусловия, необходимые и достаточные для гарантии желаемого результата. «Условие, характеризующее множество всех начальных состояний

Языки формальной спецификации.
Языки и методы формальной спецификации, как средство проектирования и анализа программного обеспечения появились более сорока лет назад. За это время было немало попыток разработать как универсальн

Методы доказательства правильности программ.
Как известно, универсальные вычислительные машины могут быть запрограммированы для решения самых разнородных задач - в этом заключается одна из основных их особенностей, имеющая огромную практическ

Правила верификации К. Хоара.
Сформулируем правила (аксиомы) К.Хоара, которые определяют предусловия как достаточные предусловия, гарантирующие, что исполнение соответствующего оператора при успешном завершении приведет к желае

Взаимодействующие последовательные процессы
Как уже отмечалось во введении, наиболее очевидной сферой применения результатов и рекомендаций теоретического программирования и вычислительной математики, служит спецификация, разработка и реализ

Параллельные процессы
Процесс определяется полным описанием его потенциального поведения. При этом часто имеется выбор между несколькими различными действиями. В каждом таком случае выбор того, какое из событий произойд

Программирование параллельных вычислений
3.5.1. Основные понятия Исполнение процессов типичной параллельной программы прерывается значительно чаще, чем процессов, работающих в последовательной среде, так как процессы параллельной

Модели параллельных вычислений
Параллельное программирование представляет дополнительные источники сложности - необходимо явно управлять работой тысяч процессоров, координировать миллионы межпроцессорных взаимодействий. Для того

Основные определения
4.2.1. Теоретико-множественное определение сетей Петри Пусть мультимножество это множество, допускающее вхождение нескольких экземпляров одного и того же элемента. Сеть

Моделирование систем на основе сетей Петри
В этом разделе рассмотрим метод моделирования на основе сетей Петри, а также его применение для моделирования параллельных систем взаимодействующих процессов и решения ряда классических задач из об

Then begin
X1:=X1*Y; end; X2:=X2*Y; Y:=Y-1; end; write(X1); write(X2); endРисунок 4.5.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги