Интервальная оценка параметров генеральной совокупности - раздел Информатика, Кафедра математики и информатики. Практикум Точечные Оценки Параметров Распределения Не Дают Информации О Степени Близост...
Точечные оценки параметров распределения не дают информации о степени близости к соответствующему теоретическому параметру. Поэтому построение интервала, в котором с заданной степенью достоверности будет находиться оцениваемый параметр, является более информативным способом оценивания неизвестных параметров.
Интервальная оценка – это числовой интервал, который определяется двумя числами-границами интервала, содержащий неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительный интервал – это интервал, в котором с той или иной заранее заданной вероятностью находится неизвестный параметр генеральной совокупности.
Доверительная вероятность р - это такая вероятность, что событие вероятности (1 - р) можно считать невозможным. - это уровень значимости. (Обозначения могут быть любыми, часто обозначают наоборот). Обычно в качестве доверительных вероятностей используют вероятности, близкие к 1. Тогда событие, что интервал накроет характеристику, будет практически достоверным. Это
Эти вероятности признаны достаточными для уверенного суждения о генеральных параметрах на основании известных выборочных показателей. Обычно указывают 95% доверительный интервал.
Для выборки малого объема (n< 30) нормально распределенного количественного признака х доверительный интервал может иметь вид:
где |- генеральное среднее; - выборочное среднее; t - нормированный показатель распределения Стъюдента с (n - 1) степенями свободы, который определяется вероятностью попадания генерального параметра в данный интервал. Термин «степени свободы» означает, что их можно вычислить как объем выборки минус число ограничивающих условий; — ошибка выборочной средней.
Для интерпретации доверительного интервала в клинических работах следует помнить, что ширина доверительного интервала зависит от ошибки выборочной средней, которая в свою очередь зависит от объема выборки (n) и от изменчивости данных (S). Если выборка небольшая, то доверительный интервал более широкий, чем в случае выборки большого объема. Широкий доверительный интервал указывает на неточную оценку, а узкий – на точную оценку.
Верхний и нижние пределы доверительного интервала показывают, будут ли результаты клинически значимы.
Количественный признак х генеральной совокупности распределен нормально. По выборке объема n = 16 найдены выборочная средняя = 20,2 и среднее квадратическое отклонение S = 0,8. Определить неизвестное математическое ожидание при помощи доверительного интервала при .
Решение:
Найдем t из таблицы распределения Стъюдента при уровне значимости и числе степеней свободы f=n-1; f=16-1=15.
Запишем:
Имеется выборка объёма n=11 - это значения систолического давления у мужчин в начальной стадии шока,
х: 127,124,155,129,77,147,65,109,145,141.
С помощью пакета прикладных программ на ЭВМ провести статистическую обработку данных выборки и определить доверительный интервал для генеральной средней при
Решение:
Пусть расчет на ЭВМ дал: выборочное среднее
По таблице распределения Стьюдента найдем:
Из обследованных 430 случайно выбранных колосьев пшеницы 37 оказались пораженными головней. Каковы 95%-ные доверительные границы процента пораженности для данного поля?
Решение:
Выборочный средний процент пораженности составляет:
Теперь по формуле находим:
.
Тогда для 95%-ного доверительного уровня имеем доверительные границы:
,
т. е . 95%-ный доверительный интервал есть (6,0 2)%.
При рентгеновском облучении 10 мышей дозой в 550 Р погибло 5 мышей. Каковы 99%-ные доверительные границы для доли мышей, погибающих пол действием данной дозы облучения?
Решение:
Имеем:
.
поэтому при Р=99% (и ) доверительные границы будут:
0,5-2,58*=0,5-0,408=0,092=9,2%,
0,5+2,58*0,158=0,5+0,408=0,908=90,8% .
Так как найденный доверительный интервал перекрывает почти весь возможный диапазон расположения истинной доли погибающих мышей (от 0 до 100%), то следует заключить, что опыт вообще не дал почти никакого результата (кроме указания, что при данной дозе облучения выборка из 10 мышей недостаточно велика для нахождения ответа на поставленный вопрос).
При изучении в 10 опытах образования у собаки условного рефлекса под действием ранее индифферентного раздражителя были получены результаты (время между моментом включения условного раздражителя и моментом начала слюноотделения): с, с. Надо найти 95% -ный доверительный интервал для µ , характеризующий данное животное.
Решение:
Для Р=95% и f=n-1=9(число степеней свободы дисперсии) находим в приложении значение t=2,26. Поэтому границы доверительного интервала будут:
Результаты обычно записываются в одной из следующих двух форм:
или
Из табл. приложений видно, что значения зависят особенно резко от f при малых f. Поэтому увеличение малых n приводит к сужению доверительного интервала определяемого величиной не только за счет уменьшения множителя , но в еще большей степени за счет уменьшения . Так, при изменении n с двух опытов до трех уменьшает множитель с до , т.е. доверительный интервал сужается в 9,0 : 2,5 = 3,6 раза; при Р=99% ширина доверительного интервала уменьшается даже примерно в 8 раз ( ; ). При больших значениях n увеличение n на одну единицу сказывается на ширине доверительного интервала гораздо меньше.
Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n=10:
вариант xi -2 1 2 3 4 5
частота ni 2 1 2 2 2 1
Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределенного признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интеграла.
Решение:
Выборочную среднюю и исправленное среднее квадратическое отклонение найдем соответственно по формулам:
Подставим в эти формулы данные задачи, получим
Найдем . Пользуясь таблицей, по g=0,95 и n=10 находим =2,26.
Найдем искомый доверительный интервал
.
Подставляя получим искомый доверительный интервал 0,3<a<3,7, покрывающий неизвестное математическое ожидание a с надежностью 0,95.
По данным 9 независимых равноточных измерений некоторые физические величины найдены среднее арифметическое результатов измерений и исправленное квадратическое отклонение S=6. Оценить истинное значение измеряемой величины с помощью доверительного интервала с надежностью g=0,99.
Решение:
Истинное значение измеряемой величины равно ее математическому ожиданию a. Поэтому задача сводится к оценке математического ожидания (при неизвестном s) при помощи доверительного интервала
Здесь все величины, кроме tg, известны. Найдем tg. По таблице g=0,95 и n=9 находим tg=3,36.
По данным выборки объема n=16 из генеральной совокупности найдено исправленное среднее квадратическое отклонение s=1 нормально распределенного количественного признака. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратическое отклонение s с надежностью 0,95.
Решение:
Задача сводится к отысканию доверительного интервала
S(1-q)<s<s(1+q), (если q<1) (*)
или 0<s<s(1+q) (если q>1).
По данным g=0,95 и n=16 найдем q=0,44. Так как q<1, то, подставив s=1, q=0,44 в соотношение (*), получим искомый доверительный интервал 0,56<s<1,44.
Асимптоты
При исследовании функций часто бывает, что при удалении координаты х точки кривой в бесконечность кривая неограниченно приближается к некоторой прямой.
Прямая назыв
Определение функции нескольких переменных
При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного чи
Частные производные
Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х
Формулы для вычисления первой производной
Численное дифференцирование весьма чувствительно к погрешностям, вызванным неточностью исходных данных. Значительно меньшую погрешность имеет дифференцирование многочленов наилучшег
Интерполирование функции с не равноотстоящими узлами
Для произвольно заданных узлов интерполяции можно воспользоваться формулой Лагранжа или многочленом Ньютона. Интерполяционный полином Лагранжа имеет формулу
Основные свойства неопределенного интеграла
Приведем основные свойства неопределенного интеграла или правила интегрирования. Предполагается, что все рассматриваемые неопределенные интегралы существуют.
1. Неопределенный интеграл от
Основные методы интегрирования
7.4.1. Непосредственное интегрирование
Способ непосредственного интегрирования основан на использовании свойств неопределенного интеграла и приведении подынтегрального выражения к таблично
Линейные уравнения первого порядка
Дифференциальное уравнение 1-го порядка называется линейным, если оно содержит искомую функцию y и ее производную
Однородные уравнения первого порядка
№4. Найти общее решение уравнения (х+у)dx–xdy=0.
Решение. Данное уравнение является однородным уравнением первой степени относител
I. Метод Лагранжа
Найдем сначала общее решение соответствующего ЛОДУ , т.е.
Применение дифференциальных уравнений в биологии и медицине.
Задача 1. Закон размножения бактерий с течением времени.
Скорость размножения некоторых бактерий пропорциональна количеству бактерий в данный момент. Найти зависимость изменения кол
Метод Эйлера
Известно, что уравнение задает в некоторой области поле направлений. Решение этого уравн
Случайное событие
Теория вероятностей – математическая наука, изучающая закономерности случайных явлений.
Теория вероятности изучает случайные события и случайные величины.
С
Комбинаторика
Комбинаторика — раздел математики, изучающий вопросы о том, сколько комбинаций определенного типа можно составить из данных предметов (элементов). Как при решении задач с использова
Вероятность случайного события
Численная мера степени объективности возможности наступления события называется вероятностью случайного события.
Классическое определение вероятности события
Закон сложения вероятностей
Сумма двух событий – это такое событие, при котором появляется хотя бы одно из этих событий (А или В).
Если А и В совместные события, то их сумм
Формулы полной вероятности и Байеса
Вероятность события A, которое может наступить лишь при условии появления одного из n попарно несовместимых событий B1, B2, ..., Bn
Формулы Бернулли, Пуассона и Муавра-Лапласа
Если производятся испытания, при которых вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются незав
Случайные величины
Случайная величина - это величина, которая в результате испытания в зависимости от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее неизвестно).
Закон распределения случайной величины
Это всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.
Для дискретной случайной величины закон распределения може
Функция распределения случайных величин
Функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше некоторого фиксированного х, называется функцией распределения случайной величины X:
Плотность вероятности непрерывных случайных величин
Плотностью вероятности, или плотностью распределения f(x) непрерывной случайной величины Х, называется производная её функции распределения:
f(x) = F' (x).
Ее также называют диффе
Нормальный закон распределения
Этот закон наиболее часто встречается на практике. Он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения. Нормальное распределение является одним из самых важных распр
Характеристики положения
Мода () – это такое значение варианты, что предшествующее и следующее за ним знач
Оценка параметров генеральной совокупности по ее выборке
Смысл статистических методов заключается в том, чтобы по выборке ограниченного объема n, то есть по некоторой части генеральной совокупности, высказать обоснованное суждение о ее свойствах в целом.
Точечная оценка параметров генеральной совокупности
Точечная оценка – это оценка, которая определяется одним числом. И это число определяется по выборке. Это функция результатов выборки, и она является точечной оценкой генерального параметра, т. е.
Функциональная и корреляционная зависимости
Функциональная зависимость - это зависимость вида у =f(x), когда каждому возможному значению случайной величины X соответствует одно возможное значение случайной величины Y.
Коэффициент линейной корреляции и его свойства
На практике исследователя часто может интересовать не сама зависимость одной переменной от другой, а именно характеристика тесноты связи между ними, которую можно было бы выразить одним числом. Эта
Свойства коэффициента корреляции r.
Они проявляются при достаточно большом объеме выборки п.
1. Коэффициент корреляции принимает значения на отрезке -1 ≤ r ≤ 1. В зависимости от того, насколько |r|
Библиографический список
1. Баврин И.И. Высшая математика: учеб. для студ. высш. учеб. заведений /И.И. Баврин, В.Л. Матросов. – М.: Владос, 2002. –400с.
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу матема
Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Новости и инфо для студентов