Дополнительные характеристики распределения пуассона

Дополнительные характеристики распределения пуассона. I. Начальным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины Хk бkMXk. В частности, начальный момент первого порядка равен математическому ожиданию б1MXa. II. Центральным моментом порядка k случайной величины Х называют математическое ожидание величины X-MXk мkMX-MXk. В частности, центральный момент 1-ого порядка равен 0 м1МX-MX0, центральный момент 2-ого порядка равен дисперсии м2MX-MX2a. III. Для случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, найдем вероятность того, что она примет значение не меньшее заданного k. Эту вероятность обозначим Rk Очевидно, вероятность Rk может быть вычислена как сумма Однако, значительно проще определить ее из вероятности противоположного события В частности, вероятность того, что величина Х примет положительное значение, выражается формулой 5. пример условия, при котором возникает распределение пуассона.

Как уже говорилось, многие задачи практики приводят к распределению Пуассона.

Рассмотрим одну из типичных задач такого рода. Пусть на оси абсцисс Ох случайным образом распределяются точки рис.2. Допустим, что случайное распределение точек удовлетворяет следующим условиям 1 Вероятность попадания того или иного числа точек на отрезок l зависит только от длины этого отрезка, но не зависит от его положения на оси абсцисс.

Иными словами, точки распределены на оси абсцисс с одинаковой средней плотностью. Обозначим эту плотность, т.е. математическое ожидание числа точек, приходящихся на единицу длины, через л. 2 Точки распределяются на оси абсцисс независимо друг от друга, т.е. вероятность попадания того или иного числа точек на заданный отрезок не зависит от того, сколько их попало на любой другой отрезок, не перекрывающийся с ним. 3 Вероятность попадания на малый участок Дх двух или более точек пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одной точки это условие означает практическую невозможность совпадения двух или более точек.

Выделим на оси абсцисс определенный отрезок длины l и рассмотрим дискретную случайную величину Х - число точек, попадающих на этот отрезок.

Возможные значения величины будут 0,1,2 m, Так как точки попадают на отрезок независимо друг от друга, то теоретически не исключено, что их там окажется сколь угодно много, т.е. данный ряд продолжается неограниченно. Докажем, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона. Для этого надо подсчитать вероятность Рm того, что на отрезок попадет ровно m точек. Сначала решим более простую задачу. Рассмотрим на оси Ох малый участок Дх и вычислим вероятность того, что на этот участок попадет хотя бы одна точка.

Будем рассуждать следующим образом. Математическое ожидание числа точек, попадающих на этот участок, очевидно, равно лДх т.к. на единицу длины попадает в среднем л точек. Согласно условию 3 для малого отрезка Дх можно пренебречь возможностью попадания на него двух или больше точек. Поэтому математическое ожидание лДх числа точек, попадающих на участок Дх, будет приближенно равно вероятности попадания на него одной точки или, что в данных условиях равнозначно, хотя бы одной.

Таким образом, с точностью до бесконечно малых высшего порядка, при Дх0 можно считать вероятность того, что на участок Дх попадет одна хотя бы одна точка, равной лДх, а вероятность того, что не попадет ни одной, равной 1-cДх. Воспользуемся этим для вычисления вероятности Pm попадания на отрезок l ровно m точек. Разделим отрезок l на n равных частей длиной Условимся называть элементарный отрезок Дх пустым, если в него не попало ни одной точки, и занятым, если в него попала хотя бы одна. Согласно вышедоказанному вероятность того, что отрезок Дх окажется занятым, приближенно равна лДх вероятность того, что он окажется пустым, равна 1 Так как, согласно условию 2, попадания точек в неперекрывающиеся отрезки независимы, то наши n отрезков можно рассмотреть как n независимых опытов, в каждом из которых отрезок может быть занят с вероятностью p. Найдем вероятность того, что среди n отрезков будет ровно m занятых. По теореме о повторных независимых испытаниях эта вероятность равна, или обозначим лla. При достаточно большом n эта вероятность приближенно равна вероятности попадания на отрезок l ровно m точек, т.к. попадание двух или больше точек на отрезок Дх имеет пренебрежимо малую вероятность.

Для того, чтобы найти точное значение Рm, нужно перейти к пределу при n8 Учитывая, что и, получаем, что искомая вероятность выражается формулой где алl, т.е. величина Х распределена по закону Пуассона с параметром алl. Надо отметить, что величина а по смыслу представляет собой среднее число точек, приходящееся на отрезок l. Величина R1 вероятность того, что величина Х примет положительное значение в данном случае выражает вероятность того, что на отрезок l попадет хотя бы одна точка R11-e-a. Таким образом, мы убедились, что распределение Пуассона возникает там, где какие-то точки или другие элементы занимают случайное положение независимо друг от друга, и подсчитывается количество этих точек, попавших в какую-то область.

В нашем случае такой областью был отрезок l на оси абсцисс.

Однако этот вывод легко можно распространить и на случай распределения точек на плоскости случайное плоское поле точек и в пространстве случайное пространственное поле точек. Нетрудно доказать, что если соблюдены условия 1 точки распределены в поле статистически равномерно со средней плотностью л 2 точки попадают в неперекрывающиеся области независимым образом 3 точки появляются поодиночке, а не парами, тройками и т.д то число точек Х, попавших в любую область D плоскую или пространственную, распределяется по закону Пуассона, где а - среднее число точек, попадающих в область D. Для плоского случая аSD л, где SD - площадь области D, для пространственного а VD л, где VD - объем области D. Для пуассоновского распределения числа точек, попадающих в отрезок или область, условие постоянной плотности лconst несущественно.

Если выполнены два других условия, то закон Пуассона все-равно имеет место, только параметр а в нем приобретает другое выражение он получается не простым умножением плотности л на длину, площадь или объем, а интегрированием переменной плотности по отрезку, площади или объему. 6.