рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Математическое обоснование метода

Работа сделанна в 2001 году

Математическое обоснование метода - Расчетно-графическая Работа, раздел Математика, - 2001 год - "Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц" Математическое Обоснование Метода. Рассмотрим Квадратную Матрицу N-Ого Порядк...

Математическое обоснование метода. Рассмотрим квадратную матрицу n-ого порядка Собственные значения i квадратной матрицы A есть действительные или комплексные числа, удовлетворяющие условию , E единичная матрица собственный вектор матрицы A, соответствующий некоторому собственному значению. Матрица называется характеристической матрицей матрицы A. Т.к. в матрице по главной диагонали стоят, а все остальные элементы равны нулю, то характеристическая матрица имеет вид Определитель этой матрицы называется характеристическим определителем и равен В развернутом виде он является многочленом n-ой степени относительно, т.к. при вычислении этого определителя произведение элементов главной диагонали дает многочлен со старшим членом, т.е. и называется характеристическим многочленом.

Корни этого многочлена собственные значения или характеристические числа матрицы A. Числа называются коэффициентами характеристического многочлена.

Ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы A, если эта матрица переводит вектор X в вектор, т.е. произведение матрицы A на вектор X и произведение характеристического числа на вектор X есть один и тот же вектор.

Каждому собственному значению матрицы соответствует свой собственный вектор. Для определения координат собственного вектора составляется характеристическое уравнение. Переписав его в векторном виде и выполнив умножение, получим систему линейных однородных уравнений Определитель этой системы равен нулю, т.к. из этого условия были определены собственные значения матрицы A. Следовательно, система имеет бесконечное множество решений.

Ее можно решить с точностью до постоянного множителя как систему однородных уравнений. Решив эту систему, мы найдем все координаты собственного вектора X. Подставляя в систему однородных уравнений поочередно, получаем n собственных векторов. При определении собственных значений и принадлежащих им собственных векторов решается одна и двух задач 1. Определение все собственных значений и принадлежащих им собственных векторов матриц 2. Определение одного или нескольких собственных значений и принадлежащих им собственных векторов. Первая задача состоит в развертывании характеристического определителя в многочлен n-й степени т.е. в определении коэффициентов с последующим вычислением собственных значений и, наконец, в определении координат собственного вектора. Вторая задача заключается в определении собственных значений итерационными методами без предварительного развертывания характеристического определителя метод итераций.

Методы первой задачи метод Данилевского, метод Леверрье-Фаддеева относятся к точным, т.е. если их применить для матриц, элементы которых заданы точно рациональными числами, и точно проводить вычисления по правилам действий с обыкновенными дробями, то в результате будет получено точное значение коэффициентов характеристического многочлена, и координаты собственных векторов окажутся выраженными точными формулами через собственные значения.

Обычно собственные векторы матрицы удается определить, используя промежуточные результаты вычислений, проведенных для определения коэффициентов характеристического многочлена.

Для определения того или иного собственного вектора, принадлежащего собственному значению, это собственное значение должно быть уже вычислено. Методы решения второй задачи итерационные. Здесь собственные значения получаются как пределы некоторых числовых последовательностей, так же, как и координаты принадлежащих им собственных векторов.

Т.к. эти методы не требуют вычисления коэффициентов характеристического многочлена, то он менее трудоемки. Некоторые свойства собственных значений векторов Все n собственных значений любой симметричной матрицы aijaji i, j 1,2 n вещественны. Собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям симметричной матрицы, ортогональны, при при. Собственный вектор матрицы, умноженный на произвольное число, также является собственным вектором.

Подобные матрицы, где P неособая матрица, имеют одинаковые собственные значения, их собственные вектора связаны соотношением Характеристическое уравнение решается ранее изложенными методами решения нелинейных уравнений. Однако задача осложняется тем, что среди собственных значений часто встречаются кратные. Кроме того, для произвольной матрицы непросто вычислить сами коэффициенты характеристического многочлена. Ряд задач требует нахождения только наибольшего или наименьшего собственных значений.

В общем случае ставится задача о нахождении всех собственных значений и собственных векторов, т.е. полная проблема собственных значений. Предположим, что поставлена задача определения наибольшего собственного числа матрицы и наибольшего собственного вектора при нем. Наиболее подходящим методом для нахождения наибольшего собственного числа и собственного вектора является метод итераций. 1.2 Метод итераций. Для решения частичной проблемы собственных значений отыскания наибольших и наименьших собственных чисел, применяется метод простой итерации решения систем уравнений С помощью итерационных методов можно определить наибольшее по модулю собственное число матрицы A без раскрытия определителя.

Итак, пусть - характеристическое уравнение - его корни, являющиеся собственными значениями матрицы. Предположим, что, т.е. наибольшее по модулю собственное число. Тогда для нахождения приближенного значения корня используется следующая схема - произвольно выбирают начальный вектор Y - составляют последовательные итерации - выбирают из этой последовательности два последних значения, и принимают за наибольшее собственное число следующее соотношение, где - соответствующие координаты векторов. Таким образом, взяв достаточно большой номер итерации m, можно с любой степенью точности вычислить наибольший по модулю корень характеристического уравнения матрицы.

Для нахождения этого корня может быть использована любая координата вектора, в частности можно взять среднее арифметическое соответствующих отношений для разных координат. 1.3 Метод Леверрье-Фаддеева.

Этот метод относится к группе тех, которые решаются методами развертывания определителей. Этот метод был предложен Леверрье и упрощен советским математиком Фаддеевым. Метод Леверрье основан на формулах Ньютона для сумм степеней корней алгебраического уравнения и заключается в следующем. Пусть - характеристический многочлен матрицы, и - полная совокупность корней характеристического многочлена.

Рассмотрим суммы иначе каждая сумма есть след матрицы. Тогда при справедливы формулы Ньютона откуда получаем при при при Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена можно легко определить, если известны суммы. Таким образом, схема раскрытия характеристического многочлена состоит в следующем 1 вычисляют степени 2 определяют - суммы элементов главных диагоналей матриц 3 по вышеприведенным формулам Ньютона находим коэффициенты. Видоизмененный метод Леверрье, предложенный Фаддеевым, заключается в вычислении последовательности матриц по следующей схеме 1.3.1

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

"Нахождение собственных значений и собственных векторов матриц"

Например, при анализе динамических систем собственные значения определяют частоты колебаний, а собственные векторы характеризуют их форму. В электро-радиотехнических устройствах собственные значения матриц определяют.. Корни этого многочлена собственные значения или характеристические числа матрицы A. Числа называются коэффициентами..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Математическое обоснование метода

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Основные пункты алгоритма метода Леверрье-Фаддеева
Основные пункты алгоритма метода Леверрье-Фаддеева. Ввод исходной матрицы, где n размерность матрицы. 2. Вычисление коэффициентов . 3. Решение характеристического уравнения определение. В качестве

Численное решение задачи нахождения собственных значений матриц методом Леверрье-Фаддеева
Численное решение задачи нахождения собственных значений матриц методом Леверрье-Фаддеева. Используя метод Леверрье-Фаддеева, найти собственные числа матрицы, а так же наибольший собственный

Листинг программы на алгоритмическом языке Pascal
Листинг программы на алгоритмическом языке Pascal. Метод Лаверрье-Фаддеева Метод нахождения собственных чисел матриц M 1024,0,0Освобождение памяти для потомка uses Dos,Crt const N10 MainTextColor15

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги