Распределений хи-квадрат

Распределений хи-квадрат. Пусть Uk, k 1,n набор из n независимых нормально распределенных СВ, UkN1. Тогда СВ ХnUk2 имеет распределение хи-квадрат с n степенями свободы, что обозначается как Хnч2n. Число ч2n находится по таблице распределения ч2. Это число зависит от степеней свободы n и от уровней значимости б. Стандартный б0,3.Выборка Х1, Х2 Хn независимые одинаково распределенные СВ. Такая последовательность называется выборкой объема n. Пусть в результате конкретного опыта СВ Х приняла какое-то значение Х1х1, Х2х2 Хnхn Хk реализация СВ Хk в k-м опыте k1n x1, x2 xn реализация выборки объема n По условию СВ Х1, Х2 Хn, которые называются элементами выборки одинаково распределены, т.е. функция распределения Fx x Fx x для всех k, i 1 n Fx x F1 x Fx функция распределения любого элемента выборки Выборка соответствует закону распределения Fx fx dFxdx плотность вероятности, которой соответствует выборка.

MXk MX1 x fxdx a const DXk DX1 x2 fxdx - a2 у2 const a у2 параметры выборки Оценивание математического ожидания и дисперсии по выборке x1, x2 xn реализация выборки.

Оценкой мат. ожидания а по этой выборке называется величина Xn 1n xk выборочное среднее Реализацией выборки называется неслучайный вектор zn colx1 xn, компоненты которого являются реализации соответствующих элементов выборки Xi, i1,n. Реализацию выборки можно так же рассматривать как последовательность x1 xn из n реализаций одной и той же СВ Х, полученных в серии из n независимых одинаковых опытов, проводимых в одинаковых условиях.

Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений.

Т.о. Хn аn оценка для а Замечание можно показать, что оценка Хn обладает следующим свойством 1 Хna при n состоятельность оценки Хn 2 MXna несмещенность оценки Выборочной дисперсией называется величина Sn2 1n-1 xk Xn2 Выборочная дисперсия является оценкой для дисперсии Sn2у2 уn v Sn2 Sn оценка среднего квадратичного отклонения.

Выборочная эмпирическая функция распределения.

Упорядочить элементы выборки по возрастанию МnA случайное число появлений события A в серии из n испытаний WnA МnAn частота события А в серии из n испытаний Рассмотрим выборку Zn, порожденную СВ Х с функцией распределения Fxx. Определим для каждого х R1 событие Aх X x, для каждого PAх Fxx. Тогда МnAх случайное число элементов выборки Zn, не превосходящих х Определение.

Частота МnAх события Aх как функция х R1 , называется выборочной эмпирической функцией распределения СВ Х и обозначается Fnx МnAх. Для каждого фиксированного х R1 СВ Fnx является статистикой, реализациями которой являются числа 0, 1n, 2n nn, и при этом PFnx kn PМnAхk, k 1,n. Любая реализация Fnx выборочной функции Fnx является ступенчатой функцией.

В точках х1 хn, где хk реализация порядковой статистики Xk, функция Fnx имеет скачки величиной 1n и является непрерывной справа.

Свойства. 1 M Fnx Fx, для любого х R1 и любого n 1 2 Sup Fnx- Fx 0 при n 3 dnx MFnx- Fx2 Fx1-Fxn 14n 4 Fnx- Fxvdnx U при n, где СВ U имеет распределение N0 1 Гистограмма 1 Построить вариационный ряд выборки, т.е. элементы выборки упорядочить по возрастанию x1 xn x1 xn х1 хn Промежуток Д x1, xn называется размахом выборки.

Все наблюдения принадлежат этому промежутку. 2Группировки выборки.

Для этого размах выборки делится на k промежутков одинаковой длины. Дi - длина промежутка Дi Д1Д2ДnДk nm число наблюдений попавших в интервал Группировкой выборки называется набор следующего вида. Дm nm, m1 k статистический ряд 2 Построение гистограммы Для каждого промежутка Дm находится частота Pm nmn Над каждым промежутком Дm строится прямоугольник, основанием которого является этот промежуток, а высота равна hm Pm Дm Гистограммой называется кусочно-постоянная функция, образованная верхними основаниями построенных прямоугольников.

Гистограмма является оценкой плотности вероятности, построенной по выборке. 4.Понятие о точечном и интервальном оценивании.

Свойства точечных оценок несмещенность и состоятельность. Оценкой параметра называется его приближенное значение, построенное по выборке наблюдений и Точечной выборкой оценкой неизвестного параметра распределения и И называется произвольная статистика ИZn, построенная по выборке Zn и принимающая значение в множестве И. Свойства 1 Оценка иZn параметра и называется состоятельной, если она сходится по вероятности к и, т.е. иZn и при n для любого и И. 2 Оценка иZn параметра и называется несмещенной, если ее МО равно и, т.е. MиZn и для любого и И. 5.